2023-2024学年江西省重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法正确的是( )
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
D. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
2.sin600°+tan240°的值是( )
A. − 32B. 32C. −12+ 3D. 12+ 3
3.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则( )
A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1
C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=1
4.已知|a|=|b|=2，a⋅b=2，则|a−b|=( )
A. 1B. 3C. 2D. 3或2
5.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A. α/​/β且l/​/αB. α⊥β且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l
6.已知函数y=3sin(x+π5)图象为C，为了得到函数y=3sin(2x−π5)的图象，只要把C上所有点( )
A. 先向右平移π5个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 先向右平移25π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π5个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π5个单位长度
7.已知A(1,2)，B(3,4)，C(−2,2)，D(−3,5)，则向量AB在向量CD上的投影向量的坐标为( )
A. (25,65)B. (25,−65)C. (−25,−65)D. (−25,65)
8.已知函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)在区间[0,π3]上的最大值为ω3，则实数ω的取值个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合M={m|m=in,n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A. (1−i)(1+i)B. 1−i1+iC. 1+i1−iD. (1−i)2
10.已知a≠e,|e|=1，满足：对任意t∈R，恒有|a−te|≥|a−e|，则( )
A. a⋅e=0B. e⋅(a−e)=0
C. a⋅e=1D. e⋅(a−e)=1
11.如图，在棱长均相等的四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，其中正确的结论是( )
A. PC//平面OMN
B. 平面PCD//平面OMN
C. OM⊥PA
D. 直线PD与MN所成角的大小为90°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.i是虚数单位，若复数(1−2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为 ．
13.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，用斜二测画法画出它的直观图四边形A′B′C′O′，则点B′到x′轴的距离为______．
14.已知函数f(x)=asinx+bcsx+c的图象过点(0,0)和(−π6,c)且当x∈[0,π3]时，|f(x)|≤ 2恒成立，则实数c的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=−2+i，z1z2=−5+5i(其中i为虚数单位)
(1)求复数z2；
(2)若复数z3=(3−z2)[(m2−2m−3)+(m−1)i]所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO= 2，圆锥的侧面积为 3π，求三棱锥P−ABC的体积．
17.(本小题15分)
平面向量OA=(1,7)，OB=(5,1)，OP=(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1)当QA⋅QB取得最小值时，求OQ的坐标；
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cs∠AQB的值．
18.(本小题17分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点M为单位圆上的一点，且∠AOM=π3，点M沿单位圆按逆时针方向旋转θ角后到点N(a,b)．
(1)当θ=54π时，求a+b的值；
(2)设θ∈[π4,1312π]，求b−a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知三棱锥P−ABC的棱AP、AB、AC两两互相垂直，且AP=AB=AC=4 3．
(1)若点M、N分别在线段AB、AC上，且AM=MB，AN=3NC，求二面角P−MN−A的余弦值；
(2)若以顶点P为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥P−ABC的表面相交，试求交线长是多少？
答案解析
1.D
【解析】解：对于A，经过圆台侧面上一点只有一条母线，A错误；
对于B，棱柱的底面是多边形，不一定是平行四边形，B错误；
对于C，用一个平面平行于棱锥底面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台，C错误；
对于D，圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，因为是轴截面，所以都是全等的等腰三角形，三角形的底边是圆锥的底面圆的直径，三角形的两腰是圆锥的母线长，D正确；
故选：D．
2.B
【解析】解：sin600°+tan240°
=sin(720°−120°)+tan(180°+60°)
=−sin120°+tan60°=− 32+ 3= 32．
故选：B．
3.C
【解析】解：∵z在复平面内对应的点为(x,y)，
∴z=x+yi，x，y∈R，
∴z−i=x+(y−1)i，
∴|z−i|= x2+(y−1)2=1，
∴x2+(y−1)2=1，
故选C．
4.C
【解析】解：∵|a|=|b|=2，a⋅b=2，
则|a−b|= a2+b2−2a⋅b= 22+22−2×2=2．
故选：C．
5.D
【解析】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l/​/α，
又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l/​/β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α/​/β则推出m/​/n，
与m，n异面矛盾．
故α与β相交，且交线平行于l．
故选：D．
6.C
【解析】解：先将函数y=3sin(x+π5)图象上每点横坐标缩短到原来的12，
纵坐标不变，得到y=3sin(2x+π5)的图象，再将得到的图象向右平移π5个单位长度，
得到函数y=3sin(2x−π5)的图象．
故选：C．
7.D
【解析】解：AB=(2,2),CD=(−1,3)，
∴AB在CD上的投影向量的坐标为：AB⋅CD|CD|⋅CD|CD|=4 10⋅CD 10=25(−1,3)=(−25,65)．
故选：D．
8.B
【解析】解：0≤x≤π3，则ωx−π3∈[−π3,π3ω−π3]，
①若π3ω−π3≤π2，即0ω3，即52