2023-2024学年四川省攀枝花市高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省攀枝花市高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知随机变量X服从正态分布N3,σ2，且P(X<2)=15，则PX≤4=( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
2.已知等比数列an满足a5−a3=12,a6−a4=24，则首项a1=( )
A. −64B. 12C. 1D. 2
3.由0,1,2,3这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为( )
A. 10B. 12C. 18D. 24
4.已知函数f(x)满足f(x)=f′(π4)sinx−cs2x，则f(x)在x=π4处的导数为( )
A. 22+1B. 2+1C. 2+2D. 2 2+4
5.函数fx的导函数f′x的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. fx在x=x1处取得最大值B. fx在区间x1,x2上单调递减
C. fx在x=x2处取得极大值D. fx在区间a,b上有2个极大值点
6.设A,B为同一个随机试验中的两个随机事件，若PA=0.4,PB=0.5,PB∣A=0.8，则P(B∣A)=( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.6
7.已知a=e0.99−0.99,b=1,c=1.01−，则( )
A. a>b>cB. c>b>aC. a>c>bD. c>a>b
8.某人在n次射击中击中目标的次数为X，且X∼Bn,0.8，记Pk=PX=k,k=0,1,2,⋯,n，若P7是唯一的最大值，则EX的值为( )
A. 5.6B. 6.4C. 7.2D. 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式(2 x−32x)n的展开式中各项系数之和是164，则下列说法正确的是( )
A. 展开式共有6项B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 展开式的常数项为540D. 展开式的有理项共有3项
10.甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
乙品牌的走时误差分布列
则下列说法正确的是( )
A. EX=EYB. DXC. E2X+1=1D. D2X+1=1.8
11.如图，棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，M､N分别是AB､BB1的中点，则( )
A. B1C1//平面A1CM
B. AN⊥A1C
C. B1到平面A1CM的距离为4 55
D. 直线A1M与B1C1所成角的余弦值为 510
12.若函数f(x)=lnx+a(x2−2x+1)(a∈R)存在两个极值点x1,x2(x1A. 函数f(x)至少有一个零点B. a<0或a>2
C. x2>12D. f(x1)+f(x2)>1−2ln2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知Cn+12+An2=22，则正整数n= ．
14.乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示：
由上表可得y关于x的近似回归方程为y=3x+a，则第6年该乡镇财政收入预计为______ ___亿元．
15.从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则不同的选法种数为 (用数字作答)．
16.已知函数f(x)=xex(e是自然对数的底数)，则函数f(x)的最大值为 ；若关于x的方程[f(x)]2+2tf(x)+2t−1=0恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3+ax2+b在x=−2处有极值103．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
某机构调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
(1)求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x之间的线性相关关系的强弱；(若r∈0.75,1，相关性较强；若r∈0.30,0.75，相关性一般；若r∈0,0.30，相关性较弱)
(2)请将上述2×2列联表补充完整，根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？
①参考公式：相关系数r=i=1nxi−xyi−y i=1nxi−x2⋅ i=1nyi−y2=i=1nxiyi−nxy i=1nxi2−nx2⋅ i=1nyi2−ny2；
②参考数据： 6.6≈2.6；
③卡方临界值表：
其中χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．
19.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−2n∈N∗，公差d不为0的等差数列bn中，b1=3，且b4是b2与b8的等比中项．
(1)求数列an,bn的通项公式；
(2)求数列anbn的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，PB//平面AEC．

(1)求证：点E是棱PD的中点；
(2)若PA⊥平面ABCD,AP=2,AD=2 3,PC与平面PAD所成角的正切值为12，求二面角A−CE−D的余弦值．
21.(本小题12分)
2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：
假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为23．
(1)请将表格内容补充完整(写出计算过程)；
(2)记X为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求X的分布列和数学期望EX；
(3)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为13，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为35，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.BC
10.ABC
11.BCD
12.ACD
13.4
14.19
15.30
16.1e；(e−12e,12)
17.解：(1)函数f(x)=13x3+ax2+b，求导得f′(x)=x2+2ax，
依题意，f′(−2)=4−4a=0，解得a=1，此时f′(x)=x(x+2)，
当x<−2或x>0时f′(x)>0，当−2f(x)=13x3+x2+b，由f(−2)=43+b=103，解得b=2，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=13x3+x2+2．
(2)由(1)知，f(x)=13x3+x2+2，且函数f(x)在(−∞,−2),(0,+∞)上递增，在(−2,0)上递减，
当x∈[−3,3]时，f(−3)=2,f(0)=2，f(−2)=103,f(3)=20，
所以函数f(x)在[−3,3]上的最大值是f(3)=20，最小值是f(−3)=f(0)=2．

18.解：(1)由表格知：x=2020，y=2.00，
所以i=15xi−x2=(−2)2+(−1)2+0+12+22=10，
i=15yi−y2=(−0.4)2+(−0.3)2+(−0.1)2+(0.2)2+(0.6)2=0.66，
i=15xi−xyi−y=(−2)×(−0.4)+(−1)×(−0.3)+0+1×0.2+2×0.6=2.5，
由上，有r=i=15xi−xyi−y i=15xi−x2⋅ i=15yi−y2=2.5 10⋅ 0.66=2.52.6≈0.96>0.75，
所以y与x之间的线性相关性较强；
(2)依题意，完善表格如下：
则χ2的观测值χ2=100×35×25−15×25250×50×40×60=256≈4.17>3.841，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于0.05．
19.解：(1)数列an的前n项和为Sn，Sn=2an−2，当n≥2时，Sn−1=2an−1−2，
两式相减得an=2an−2an−1，即an=2an−1，由a1=S1=2a1−2，得a1=2，
因此数列an是首项为2，公比为2的等比数列，an=a1⋅2n−1=2n；
由b4是b2与b8的等比中项，得b42=b2b8，又b1=3，则(3+3d)2=(3+d)(3+7d)，
整理得2d2=6d，又d≠0，解得d=3，于是bn=b1+(n−1)d=3n，
所以数列an,bn的通项公式分别为an=2n，bn=3n．
(2)由(1)知，anbn=3n⋅2n，
Tn=3(1×2+2×22+3×33+⋯+n×2n)，
于是2Tn=3(1×22+2×23+3×34+⋯+n×2n+1)，
两式相减得−Tn=3(2+22+33+⋯+2n−n⋅2n+1)=3[2(1−2n)1−2−n⋅2n+1]=3(1−n)⋅2n+1−6，
所以Tn=3(n−1)⋅2n+1+6．
20.解：(1)

连接BD交AC于点O，连接EO，
因为ABCD为矩形，所以点O是BD是中点，
因为PB//平面AEC，PB⊂平面AEC，平面PBD∩平面AEC=EO，
所以PB//EO，因为点O是BD是中点，
所以点E是棱PD的中点；
（2）因为AP=2,AD=2 3，所以PD= AP2+AD2=4，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD，
因为AD∩PA=A，AD、PA⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以∠CPD就是PC与平面PAD所成的角，
可得tan∠CPD=CDPD=12，CD=2，
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A0,0,0,C2,2 3,0,E0, 3,1,D0,2 3,0，
AE=0, 3,1,EC=2, 3,−1，DE=0,− 3,1,DC=2,0,0，
设n=x1,y1,z1是平面ACE的一个法向量，
可得AE⋅n=0EC⋅n=0，所以 3y1+z1=02x1+ 3y1−z1=0,
令y1= 3，可得x1=−3,z1=−3，所以n=−3, 3,−3，
设m=x2,y2,z2是平面CED的一个法向量，
可得DE⋅m=0DC⋅m=0，所以− 3y2+z2=02x2=0,
令y2= 3，可得x2=0,z2=3，所以m=0, 3,3，
所以csn,m=n⋅mn⋅m=3−9 9+3+9× 3+9=− 77，
所以二面角A−CE−D的余弦值为− 77．


21.解：(1)设事件C为“甲上午选择羽毛球”，事件D为“甲下午选择羽毛球”，
设甲一天中锻炼情况为(羽毛球，足球)的天数为x，
则PDC=nCDnC=1010+x=23，解得x=5，
所以甲一天中锻炼情况为(足球，羽毛球)的天数为50−20−10−5=15，
(2)依题意，甲上午､下午选择同一种球的概率为20+1050=35，选择两种球的概率为1−35=25；
乙上午､下午选择同一种球的概率为10+2550=710，选择两种球的概率为1−710=310．
记X为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目个数之差的绝对值，则X的所有可能取值为0,1，
PX=0=35×710+25×310=2750，PX=1=35×310+25×710=2350，
所以X的分布列为：
所以EX=0×2750+1×2325=2350．
(3)记事件A为“上午室外温度在20度以下”，事件B为“甲上午打羽毛球”，
由题意知PA=13,PB=1550=310,PBA=35，
PAB=PABPB=PBAPAPB=35×13310=15310=15×103=23．
故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为23．
22.解：(1)当a=2时，f(x)=2e2x−x，求导得f′(x)=4e2x−1，则f′(0)=3，而f(0)=2，
于是曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线为y−2=3(x−0)，即y=3x+2，
直线y=3x+2交x轴于点(−23,0)，交y于点(0,2)，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积S=12×|−23|×2=23．
(2)函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x的定义域为(−∞,+∞)，
求导得f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(aex−1)(2ex+1)，
当a≤0时，则f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，
显然f(0)=2a−2<0，当x<2a−2时，0则a−2a+2，
于是f(x)>0，因此函数f(x)有唯一零点；
若a>0，由f′(x)=0得x=−lna，
当x∈(−∞,−lna)时，f′(x)<0，当x∈(−lna,+∞)时，f′(x)>0，
则f(x)在(−∞,−lna)单调递减，在(−lna,+∞)单调递增，f(x)min=f(−lna)=1−1a+lna，
显然函数g(a)=1−1a+lna在(0,+∞)上单调递增，g(1)=0
当a>1时，f(x)min=g(a)>0，函数f(x)无零点；
当a=1时，f(x)min=g(1)=0，函数f(x)有唯一零点；
当0则0−a+2，于是f(x)>0，函数f(x)在(−∞,0)上有一个零点，
当x>1+ln2−aa时，显然1+ln2−aa>−lna，ex>e⋅2−aa，
ae2x+(a−2)ex=ex[aex−(2−a)]>ex[e(2−a)−(2−a)]=ex(e−1)(2−a)>ex，
因此f(x)>ex−x，令ℎ(x)=ex−x,x>0，求导得ℎ′(x)=ex−1>0，
即ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，ℎ(x)>ℎ(0)=1，于是f(x)>ex−x>0，
从而函数f(x)在(0,+∞)上有一个零点，
于是当0所以当a≤0或a=1时，函数f(x)有1个零点；当01时，f(x)无零点．X
−1
0
1
P
0.1
0.8
0.1
Y
−2
−1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
第x年
1
2
3
4
5
收入y(单位：亿元)
3
8
10
14
15
年份x
2018
2019
2020
2021
2022
销量y(万台)
1.60
1.70
1.90
2.20
2.60
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
35
60
女性车主
25
总计
100
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
体育锻炼项目情况
(上午，下午)
(足球，足球)
(足球，羽毛球)
(羽毛球，足球)
(羽毛球，羽毛球)
甲
20天
10天
乙
10天
10天
5天
25天
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
35
25
60
女性车主
15
25
40
总计
50
50
100
体育锻炼项目的情况(上午，下午)
(足球，足球)
(足球，羽毛球)
(羽毛球，足球)
(羽毛球，羽毛球)
甲
20天
15天
5天
10天
乙
10天
10天
5天
25天
X
0
1
P
2750
2350