2023-2024学年山东省青岛市胶州市高一下学期期末学业水平检测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省青岛市胶州市高一下学期期末学业水平检测数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足2z+1=1−i，则z的虚部为
A. −1B. 1C. −iD. i
2.在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1,1,2)关于y轴对称点的坐标为
A. (1,1,−2)B. (−1,1,2)C. (−1,1,−2)D. (1,−1,2)
3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，能使“m⊥n”成立的一组条件是
A. α // β，m⊥α，n⊥βB. α // β，m⊂α，n⊥β
C. α⊥β，m⊥α，n // βD. α⊥β，m⊂α，n // β
4.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
A. a+b，a+b+c，cB. a+b，a−b，c
C. b+c，b，b−cD. a，a+b，a−b
5.如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为
A. 3B. 3C. 2 3D. 3 3
6.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是 3，则它的侧面积为
A. 6B. 12 3C. 24D. 44
7.若△ABC为斜三角形，sinA=csB，则tanA+tanBtanC的值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
8.已知AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α所成的角为30°，BD=AC=1，AB=2，则点C与点D之间的距离为
A. 7B. 13C. 5或 7D. 5或 13
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为AD1，AB的中点，则
A. AC与EF为异面直线
B. EF//平面BDD1B1
C. 过点A，E，F的平面截正方体的截面为三角形
D. EF⊥平面AB1C
10.已知向量a在向量b上的投影向量为 32,32，向量b=(1, 3)，则向量a可以为
A. (0,2)B. (2,0)C. (1, 3)D. ( 3,1)
11.已知四面体VABC的所有棱长都等于6，点P在侧面VBC内运动(包含边界)，且AP与平面VBC所成角的正切值为2 2，点Q是棱VB的中点，则
A. 该四面体的高为2 6
B. 该四面体的体积为6 2
C. 点P的运动轨迹长度为2 3π
D. 过ACQ的平面截该四面体内最大球的截面面积为32π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°.已知礼物重量为2 kg，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为__________N.(重力加速度g取10 m/s2)
13.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在表面积为20π的球的表面上，AB=AC=AA1，∠BAC=2π3，则此直棱柱的体积为__________．
14.在四面体ABCD中，面ABC与面BCD所成的二面角为30°，顶点A在面BCD上的射影是H，△ABC的重心是G，若AD⊥BC，AB=AC=BC=4，则GH=__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，圆台OO1上下底面半径分别为1，2，AA1，BB1为其两条母线，且母线长为2．
(1)证明：四边形AA1B1B为等腰梯形；
(2)若在圆台OO1内部挖去一个以O为顶点，圆O1为底面的圆锥，求剩余部分的体积．
16.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=∠A1AB=60°，平面A1ABB1⊥底面ABC，M，N分别是AC，A1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．
(1)证明：平面PB1N //平面BA1M；
(2)求平面PAB与平面A1CM夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为 3，且sin2A+sin2C=sin2B−sin Asin C．
(1)求B；
(2)若B的角平分线交AC于点D，BD= 32，点E在线段AC上，EC=2EA，求△BDE的面积．
18.(本小题12分)
如图1，直角梯形ABED中，AB=AD=1，DE=2，AD⊥DE，BC⊥DE，以BC为轴将梯形ABED旋转180°后得到几何体W，如图2，其中GF，HE分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧GF，HE上，直线PF //平面BHQ．
(1)证明：平面BHQ⊥平面PGH；
(2)若直线GQ与平面PGH所成角的正切值等于 2，求P到平面BHQ的距离；
(3)若平面BHQ与平面BEQ夹角的余弦值13，求HQ．
19.(本小题12分)
如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面．得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB是底面圆O的直径，AB=2，椭圆面过点B且垂直于平面ABC，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点Ei(i=1，2，3，…，n)在底面上的投影分别为Fi，且Fi均在直径AB同一侧．
(1)当∠AOF1=π3时，求E1F1的长度；
(2)当n=6时，若下图中，点F1，F2，F3，…，F6将半圆平均分成7等分，求(E1F1−1)(E2F2−1)(E3F3−1)(E4F4−1)(E5F5−1)(E6F6−1)；
(3)证明：AF1⌢⋅E1F1+F1F2⌢⋅E2F2+…+Fn−1Fn⌢⋅EnFn