2023-2024学年安徽省蚌埠市高一下学期7月期末学业水平监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省蚌埠市高一下学期7月期末学业水平监测数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.OA−OB+AC=( )
A. OCB. BCC. CBD. CA
2.sin(−7π6)=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
3.已知点P(m,− 3)(m≠0)在角α终边上，且csα= 24m，则sinα=( )
A. − 64B. − 104C. 64D. 104
4.如图，△OAB的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O′A′B′，y′轴经过斜边A′B′的中点，则△OAB中OA边上的高为( )
A. 2 2B. 4 2C. 2D. 4
5.要得到函数f(x)=sin(x2+π4)的图象，可将函数f(x)=sinx的图象( )
A. 先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍
B. 先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍
C. 先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍
D. 先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍
6.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂β，m/​/n，则α/​/βB. 若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C. 若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD. 若α⊥γ，β/​/γ，则α⊥β
7.已知x∈(π12,7π12)，sin(x−π12)= 55，则sin(2x+π12)=( )
A. − 210B. 210C. 7 210D. 7 310
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csB+csC=2sinAsinB，a= 3b，则C=( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=1−i，z2=1+i，其中i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. z1=z2B. |z1|=|z2|C. z1z2=iD. z12+z22≥2z1z2
10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E，M分别为AB，BD1的中点，下列说法正确的是( )
A. EM/​/BC
B. EM⊥MC
C. 直线EM与直线CC1所成角的大小为45∘
D. 直线EM与平面BB1D1所成角的大小为30∘
11.已知向量a，b满足(a+2b)⊥a，则以下说法正确的是( )
A. 若a=(2,m)，b=(−1, 3)，则m=0或−2 3
B. 若|a+b|= 5，则|b|= 5
C. 若|a|= 5，|b|=2，则向量b在向量a上的投影数量为 52
D. 向量b在向量a上的投影向量为−a2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的侧面积是 ．
13.已知tan(α−β)，tanβ是方程2x2−3x−1=0的两根，则tanα= ．
14.在△ABC中，AC=2AB=2，AB⊥BC，点M满足∠AMC=∠BMC=2π3，则AM+BM+CM= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知复数z=a2−3a+2+(a−2)i，其中i为虚数单位，a∈R.
(1)若z为纯虚数，求|z+2|;
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
16.(本小题12分)
如图，在▱ABCD中，E，H分别是AD，BC的中点，AF=2FB，G为DF与BE的交点．
(1)记向量AB=a，AD=b，试以向量a，b为基底表示BE，DF;
(2)若AC=mBE+nDF，求m，n的值;
(3)求证：A，G，H三点共线．
17.(本小题12分)
如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，B1C与BC1交于点O，M为线段AC的中点，B1C⊥AB，AB=2BC=2AA1=2．
(1)求证：OM/​/平面ABB1A1;
(2)求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1;
(3)求三棱锥B1−BOM的体积．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs(x−π6)csx+sin2x．
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)关于x的方程f(x)=a在区间[0,π2]有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围;
(3)不等式(m− 34)2+mf(x)≥0对m∈R恒成立，求实数x的取值范围．
19.(本小题12分)
已知球O半径为2，A，B，C，D是球面上的点，平面OAC⊥平面ABC，四边形OACD为平行四边形．
(1)证明：AB⊥BC;
(2)若AB=BC，求点O到平面BCD的距离;
(3)求BD与平面OAC所成角的余弦值的最小值．
答案解析
1.B
【解析】解：OA−OB+AC=BA+AC=BC
2.C
【解析】解：sin(−7π6)=−sin(7π6)=sinπ6=12，
故选：C．
3.A
【解析】解：∵角α的终边经过点P(m,− 3)(m≠0)
∴r=OP= m2+3，
∵csα= 24m，
∴m m2+3= 24m，
解得m2=5，
∴r=2 2，
∴sinα=yr=− 32 2=− 64．
故选A．
4.B
【解析】解：设A′B′与y′轴交于D′，
根据题意可得 ▵OAB 的原图如图所示，其中D为AB的中点，

由于 D′ 为 A′B′ 的中点， O′D′= 2 ，
且OA=2， OD=2O′D′=2 2 ，
过B作BE⊥x轴于E，
则易知△AOD∽△AEB，AE=2AO=4，
则BEAE=ODOA⇒BE=AE·ODOA=4×2 22=4 2，
故△OAB中OA边上的高为4 2
5.A
【解析】解：函数y=sinx图象上的所有点先向左平移π4个单位长度，得到函数y=sin (x+π4)，
再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数f(x)=sin(x2+π4) .
故选：A
6.D
【解析】解：对于A、若m⊂α，n⊂β，m/​/n，则α/​/β或α与β相交，故A错误；
对于B、若m⊥α，m⊥β，则α/​/β，故B错误；
对于C、若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α/​/β或α与β相交，故C错误；
对于D、若α⊥γ，β/​/γ，则α⊥β，故D正确
7.C
【解析】解：由x∈(π12,7π12)，得x−π12∈(0,π2)
又sin(x−π12)= 55，
则cs(x−π12)=2 55，
则sin(2x−π6)=2sin(x−π12)cs(x−π12)=45，
则cs(2x−π6)=2cs2(x−π12)−1=35，
故sin⁡(2x+π12)=sin⁡[(2x−π6)+π4]=sin⁡(2x−π6)cs⁡π4+cs⁡(2x−π6)sin⁡π4=45× 22+35× 22=7 210
8.D
【解析】解：因为csB+csC=2sinAsinB，
所以csB−cs(A+B)=csB−csAcsB+sinAsinB=2sinAsinB，
即csB=cs(A−B)，
又A，B为△ABC的内角，
则B=A−B，即A=2B，
又a= 3b，
则sinA= 3sinB=sin2B=2sinBcsB，
显然sinB≠0，
则csB= 32，则B=π6，
则sinA= 3sinB= 32，则A=π3或2π3(舍)，
故C=π−A−B=π−π3−π6=π2
9.AB
【解析】解：对于A、由共轭复数的定义可知正确；
对于B、|z1|=|z2|= 2，故B正确；
对于C、z1z2=1−i1+i=1−i1−i1+i1−i=−i，故C错误；
对于D、z12+z22=1−i2+1+i2=0，2z1z2=21−i1+i=4，故D错误
10.BCD
【解析】解：对于A.如图：
若EM/​/BC，则EM与BC可确定一个平面α．
因为E、B、C都属于平面ABCD，且E、B、C不共线，所以平面ABCD与平面α重合．
因为M∈平面α，而平面ABCD与平面α重合，所以M∈平面ABCD，这与M是BD1中点相矛盾，
因此假设不成立，所以EM ∖//BC，故A错误；
对于B.如图：
连接AD1、A1D．
因为ABCD−A1B1C1D1是正方体，M是BD1中点，所以A1、M、C共线．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1，而A1D⊥AD1，CD∩A1D=D，CD、A1D⊂平面A1DC，
因此AD1⊥平面A1DC，而MC⊂平面A1DC，所以AD1⊥MC．
因为E是AB的中点，所以EM= //12AD1，因此由AD1⊥MC得EM⊥MC，故B正确；
对于C.如图：
连接BC1．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为BC1//AD1，而由选项C知：EM//AD1，
因此EM//BC1，所以∠BC1C是直线EM与直线CC1所成角．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为∠BC1C=45∘，
所以直线EM与直线CC1所成角的大小为45∘，故C正确；
对于D.如图：
连接BD，在平面ABCD内，过E作EH⊥BD，交BD于H，连接MH．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为DD1⊥平面ABCD，EH⊂平面ABCD，
所以DD1⊥EH，而DD1∩BD=D，DD1、BD⊂平面BB1D1B，因此EH⊥平面BB1D1B，
所以∠EMH是直线EM与平面BB1D1所成角．
设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2a，则EH= 2a2，而由选项B知：EM= 2a．
在Rt△EHM中，因为EH= 2a2，EM= 2a，所以∠EMH=30∘，
因此直线EM与平面BB1D1所成角的大小为30∘，故D正确．
11.ABD
【解析】解：由(a+2b)⊥a，得(a+2b)·a=a2+2a·b=0，
对于A、若a=(2,m)，b=(−1, 3)，则a+2b=(0,m+2 3)，
则(a+2b)·a=m(m+2 3)=0，解得m=0或−2 3，故A正确；
对于B、若|a+b|= 5，则(a+b)2=a2+2a·b+b2=b2=5，故|b|= 5，故B正确；
对于C、若|a|= 5，|b|=2，则a·b=−52，
则向量b在向量a上的投影数量为a·ba=− 52，故C错误；
对于D、向量b在向量a上的投影向量为a·baaa=−12a2a2a=−12a，故D正确．
12.2π
【解析】解：圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，
则底面圆的半径为1，母线长为2，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形半径为2，弧长为2π，
由扇形的面积公式可得，侧面积S=12×2π×2=2π．
故答案为：2π．
13.1
【解析】解：由题意可得tan(α−β)+tanβ=32，tan(α−β)⋅tanβ=−12，
∴tanα=tan α−β+tan β1−tan α−βtanβ=321−−12=1．
14. 7
【解析】如图把△CMB逆时针旋转π3，到△CEF的位置，
因为在△ABC中，AC=2AB=2，AB⊥BC，
所以BC=CF= 3，∠ACB=π6，
又∠BCF=π3，
所以AC⊥CF，
又∠MCE=π3，CM=CE，
所以△MCE是等边三角形，
又∠AMC=∠BMC=2π3，
所以A，M，E，F四点共线，
在△ACF中，AC=2，CF= 3，
所以AF= 22+ 32= 7，
又BM=EF，
所以AM+BM+CM=AM+EF+CE=AF= 7．
15.解：(1)因为z为纯虚数，所以a2−3a+2=0a−2≠0即a = 1 或a = 2a≠2,∴a = 1．
∴z=−i，则|z+2|=|2−i|= 5．
(2)由题意a2−3a+2>0a−2