2023-2024学年广东省广州市三校高一下学期期末联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市三校高一下学期期末联考数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={x|x2+x−6<0}，B={x|x+2x−3≤0}，则A∩B等于( )
A. (−3,3)B. (−2,2)C. [−2,2)D. [−2,3)
2.若复数z满足z(1−i)=i，则z的虚部为( )
A. i2B. −i2C. 12D. −12
3.边长为2的正三角形的直观图的面积是( )
A. 64B. 2 3C. 3 32D. 2 6
4.已知向量a，b不共线，满足a+b=a−b，则a−b在b方向上的投影向量为( )
A. aB. bC. −12bD. −b
5.已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π6,c=6，若▵ABC有两解，则b的取值范围是( )
A. (3,6)B. (3 3,6 3)C. (3 3,6)D. (3,6 3)
6.若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4，事件A=1,2，甲：事件B=Ω，乙：事件A,B相互独立，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为偶函数，f(x+2)−1为奇函数.若f(1)=0，则k=126f(k)=( )
A. 23B. 24C. 25D. 26
8.已知O为▵ABC的外心，A为锐角且sinA=2 23，若AO=αAB+βAC，则α+β的最大值为( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据x1，x2，⋯，xn(x1A. 平均数不变B. 中位数不变C. 极差变小D. 方差变小
10.吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为T=110A，如表为不同玻璃材料的透光率：
设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为A1､A2､A3，则( )
A. A1>2A2B. A2+A3>A1C. A1+A3>2A2D. A1A311.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，M为边BC的中点，将▵ABM沿直线AM翻折成▵AB1M，连接B1D，N为线段B1D的中点，则在翻折过程中，( )
A. 异面直线CN与AB1所成的角为定值
B. 存在 某个位置使得AM⊥B1D
C. 点C始终在三棱锥B1−AMD外接球的外部
D. 当二面角B1−AM−D为60 ∘时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积为14π3
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a,b，则事件“a−b≤1”的概率为 ．
13.设钝角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=2，bsinA= 3，c=3，则b= ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
将四个半径为2的小球放入一个大球中，则这个大球表面积的最小值为 ．
15.(本小题12分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：40,50,50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在50,60的平均成绩是61，方差是7，落在60,70的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s 2．
16.(本小题12分)
已知函数fx=2sin2x+π6．
(1)求函数fx在0,2π上的单调递减区间；
(2)若gx=fx−85在区间0,π2上恰有两个零点x1，x2x117.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45∘，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90∘,AD=2PA=2BC=2
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD：
(2)在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为45∘？若存在，求出有PEPD的值：若不存在，说明理由．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，2csinAcsB+bsinB=52csinA
(1)求sinAsinC
(2)若a>c，角B的平分线交AC于D．
(I)求证：BD2=BA⋅BC−DA⋅DC
(II)若a=1，求DB⋅AC的最大值
19.(本小题12分)
已知函数fx和gx的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得gxi=fx0(其中i=1，2，…，n，n∈N∗)，则称gx为fx的“n重覆盖函数”．
(1)判断gx=x2−2x+1(x∈0,4)是否为fx=x+4(x∈0,5)的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；
(2)若gx=ax2+2a−3x+1,−2≤x≤1x−1,x>1为fx=lg22x+22x+1的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
(3)函数x表示不超过x的最大整数，如1.2=1，2=2，−1.2=−2，若ℎx=ax−ax，x∈0,2为fx=xx2+1，x∈0,+∞的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.D
5.A
6.A
7.C
8.D
9.ACD
10.BCD
11.ACD
12.49
13. 19
14.40+16 6π
15.解：(1)
(1)因为每组小矩形的面积之和为1，
所以0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010×10=1，则a=0.030．
(2)
成绩落在40,80内的频率为0.005+0.010+0.020+0.030×10=0.65，
落在40,90内的频率为0.005+0.010+0.020+0.030+0.025×10=0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+m−80×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84．
(3)
由图可知，成绩在50,60的市民人数为100×0.1=10，
成绩在60,70的市民人数为100×0.2=20，
故这两组成绩的总平均数为z=10×61+20×7010+20=67，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
s2=1030×7+(61−67)2+2030×4+(70−67)2=23．

16.解：(1)
对于fx=2sin2x+π6，
令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
因为x∈0,2π，当k=0时，π6≤x≤2π3；当k=1时，7π6≤x≤5π3；
所以fx在0,2π上的单调递减区间为π6,2π3,7π6,5π3．
(2)
因为gx在区间0,π2上恰有2个零点x1,x2x1所以fx=85在0,π2有两个根，
令2x+π6=π2+2kπ,k∈Z，解得x=π6+kπ,k∈Z，
所以当x∈0,π2时，函数fx图像的对称轴为x=π6，
所以x1+x2=π3，则x1=π3−x2，
又fx2=2sin2x2+π6=85，则sin2x2+π6=45，
所以csx1−x2=csπ3−2x2=csπ2−2x2+π6=sin2x2+π6=45．

17.解：(1)
方法一.由AD=2PA=2BC=2，得PA=BC=1,AD=2，
因为PA⊥平面ABCD，AB是PB在平面ABCD内的射影，
所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45∘，
在▵ABP中，tan∠PBA=PAAB=1AB=tan45∘，解得AB=1，
因为∠ABC=90∘,AB=BC=1,所以∠BAC=45∘,
在Rt▵ABC中，AC= AB2+BC2= 2，
因为∠BAD=90∘,所以∠CAD=90∘−∠BAC=45∘,
在▵ACD中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2−2AD⋅ACcs45∘=22+ 22−2×2× 2× 22=2，即CD= 2．
由AC2+CD2=AD2，得AC⊥CD，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又AP∩AC=A，AP,AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，
又因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．
方法二.由AD=2PA=2BC=2，得PA=BC=1,AD=2，
因为PA⊥平面ABCD，AB是PB在平面ABCD内的 射影，
所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45∘，
在▵ABP中，tan∠PBA=PAAB=1AB=tan45∘，解得AB=1，
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系A−xyz，如图所示，
D0,2,0，C1,1,0，P0,0,1，A0,0,0，
PC=1,1,−1，AP=0,0,1，CD=−1,1,0，
所以CD⋅PC=−1+1=0，CD⊥PC，
所以CD⋅AP=0，CD⊥AP，即CD⊥AP,CD⊥PC，
又AP∩PC=P，AP,PC⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC，
又因为CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAC．
(2)
存在，理由如下，
方法一.取AD的中点M，连接CM,EM，如图所示，
因为AD=2BC，所以AM=BC，
因为∠ABC=∠BAD=90∘,所以AD//BC，所以四边形ABCM为矩形，
所以CM⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，所以PA⊥CM，
又AP∩AD=A，AP,AD⊂平面PAD，
所以CM⊥平面PAD，所以EM是CE在平面PAD内的射影，
所以∠CEM是CE与平面PAD所成的角，即∠CEM=45∘，
由(1)知，AC⊥CD，且M是AD的中点，
所以CM=12AD=1.在Rt△CME中，CE=CMsin∠CEM=1sin45∘= 2，
因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
在Rt▵PAD中，PD= PA2+AD2= 5，
由PD2=CD2+PC2，得CD⊥PC，在Rt▵PDC中，cs∠CDP=CDPD= 2 5= 105，
取DE的中点为Q，连接CQ，又CD=CE，
所以CQ⊥DE，在Rt△CQD中，cs∠CDQ=DQCD=DQ 2，
所以DQ 2= 105，解得DQ=2 55，所以EQ=DQ=2 55，
所以ED=EQ+DQ=4 55，PE=PD−ED= 55，所以PEPD= 55 5=15．
所以线段PD上存在点E，使CE与平面PAD所成的角为45∘，此时PEPD=15．
方法二.由(1)知，B1,0,0，C1,1,0，P0,0,1，D0,2,0，PD=0,2,−1，
设PE=λPD=0,2λ,−λ，
所以E=0,2λ,1−λ，CE=−1,2λ−1,1−λ，
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，又AD⊥AB，
且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，
所以AB=1,0,0是平面PAB的一个法向量，
所以csAB,CE=AB⋅CEAB⋅CE=1 1+2λ−12+1−λ2= 22，
解得λ=15，或λ=1，
当λ=1时，E点与D重合，不符合题意，舍去，
所以当λ=15时，CE与平面PAD所成的角为45∘，且PEPD=15．

18.解：(1)
因为2csinAcsB+bsinB=52csinA，
结合正弦定理和余弦定理可得
2ac⋅a2+c2−b22ac+b2=52ac，即2a2+2c2−5ac=0，
方程两边同时除以c2c≠0，得2ac2+2−5ac=0，
令ac=tt>0，所以2t2+2−5t=0，
解得t=2或12即ac=2或12，
所以sinAsinC=ac=2或12．
(2)
(I)证明：在▵ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD=ABsin∠ADB①，
由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB②
同理在▵BCD中，则
CDsin∠CBD=BCsin∠CDB③，
BC2=CD2+BD2−2CD⋅BDcs∠CDB④，
因为BD是∠ABC的角平分线，则∠ABD=∠CBD，
所以sin∠ABD=sin∠CBD，
又∠ADB+∠CDB=π，
则sin∠ADB=sin∠CDB，cs∠ADB+c∠CDB=0，
①÷③得，ADCD=ABBC⑤，
所以ADAC=ABAB+BC,CDAC=BCAB+BC，
CD×②+AD×④得
CD⋅AB2+AD⋅BC2=CD⋅ADAD+CD+CD+AD⋅BD2
=CD⋅AD⋅AC+AC⋅BD2，
所以BD2=CD⋅AB2+AD⋅BC2AC−CD⋅AD
=BC⋅AB2+AB⋅BC2AB+BC−CD⋅AD=BA⋅BC−DA⋅DC，得证．
(II)因为a>c，所以sinAsinC=2，即a=2c=1，
由⑤式可知ADCD=ABBC=12，
所以AD=13AC,DC=23AC，由(I)得
BD2=12−29AC2，
所以BD2+29AC2=12，
BD2+29AC2≥2 23BD⋅AC，当且仅当BD=12，AC=3 24时等号成立，
所以BD⋅AC≤3 28，
故DB⋅AC的最大值为3 28．

19.解：(1)
g(x)=x2−2x+1=(x−1)2,x∈0,4，f(x)=x+4,x∈0,5，
由题目定义可知，对∀x0∈0,5，恰好存在不同的实数x1,x2,⋯,xn∈0,4，
使得g(xi)=f(x0)，其中(i=1,2,3,⋯n,n∈N∗)
即(xi−1)2=x0+4∈4,9，易得xi∈3,4，
故对∀x0∈0,5，能找到一个x1，使得(x1−1)2=x0+4，
g(x)是f(x)的“n重覆盖函数”，n=1．
(2)
由题意得：f(x)=lg22x+22x+1=lg2(1+12x+1)的定义域为R，
即对∀x0∈R，存在2个不同的实数x1,x2∈−2,+∞,
使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2)，
又2x>0，故2x+1>1⇒0<12x+1<1⇒1<1+12x+1<2，
所以0g(xi)=lg2(1+12x+1)∈(0,1)，
即对∀k∈(0,1)，g(x)=k有2个根，
当x>1时，g(x)=x−1=k已有1个根，
故只需−2≤x≤1时，g(x)=k仅有1个跟，
当a=0时，g(x)=−3x+1，符合题意，
当a>0时，g(−2)=4a−4a+6+1=7，
则需满足g(1)=a+2a−3+1≤0，解得：0当a<0时，抛物线开口向下，
g(−2)=4a−4a+6+1=7，g(0)=1，若仅有一个根，
由a<0可知3−2a2a≤−1，当x∈−2,0时，g(x)≥1，
所以g(x)=k无解，则只需：g(1)=3a−2≤0a<0⇒a<0,
综上，实数a的取值范围是aa≤23．
(3)
因为f(x0)=x0x02+1∈0,12，则对于∀m∈0,12，
ℎ(x)=m，x∈0,2要有2024个根，
ℎ(x)=ax−ax=ax,x∈0,1aax−1,x∈1a,2aax−2,x∈2a,3a⋯，作出函数图象如下：
有图象易知，当x∈2023a,2024a时，
ℎ(x)=ax−2023，此时当m=12时，则有ax−2023=12，
解得：x=40472a，要使得ℎ(x)=m,x∈0,2有2024个根，
则40472a<2≤2024a，
又因为a>0，故40474故正实数a的取值范围是a40474 玻璃材料
材料1
材料2
材料3
T
0.6
0.7
0.8