2023-2024学年山东省菏泽市高一下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市高一下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1−i)z=2+i，则复数z的虚部为( )
A. 32B. −32C. 32iD. −32i
2.已知向量BC=(2,1)，AB=(0,−1)，则|AC|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 2 2
3.下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是( )
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量的平均数为31
C. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
D. 这10年粮食年产量的中位数为29
4.已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若a⊥c，b⊥c，则a/​/b
B. 若a/​/b，a/​/α，则b//α
C. 若a/​/α，b//α，c⊥a，且c⊥b，则c⊥α
D. 若β⊥α，γ⊥α，且β∩γ=a，则a⊥α
5.已知向量|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为45∘，则b在a方向上的投影向量为( )
A. 22aB. 2aC. 2bD. b
6.某商场开展20周年店庆购物抽奖活动(100%中奖)，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元;若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元;若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为( )
A. 536B. 518C. 29D. 12
7.建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅(如图所示)，因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台O1O2，已知该圆台的上、下底面积分别为16πcm2和9πcm2，高超过1cm，该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球O的表面上，且球O的表面积为100πcm2，则该圆台的体积为( )
A. 80πcm3B. 259π3cm3C. 260π3cm3D. 87πcm3
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB上的点，CD平分∠ACB，且CD=1，csinA+ 3acsC=0，则△ABC面积的最小值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,x)，则
A. 当x=2时，a+b=(−1,4)
B. 若a/​/b，则x=−1
C. 若a⊥b，则x=1
D. 若a与b的夹角为钝角，则x∈(−∞,−4)∪(−4,1)
10.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2;红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则( )
A. A与D相互独立B. A与B相互独立C. B与D相互独立D. A与C相互独立
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱AB上的动点，DF⊥平面D1EC，F为垂足，下列结论正确的是( )
A. FD1=FCB. 三棱锥C−DED1的体积为定值
C. BC1⊥ACD. ED1⊥A1D
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若虚数3−i是关于x的实系数方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m= ．
13.已知圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ．
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2=2a2−2b2，则A−B的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcsC+1=c2−csB．
(1)证明：a+b=2c．
(2)若a=6，csC=916，求▵ABC的面积．
16.(本小题12分)
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图 ①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．
(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家?
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率直方图如图 ②所示．
(ⅰ)估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数(求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表);
(ⅱ)若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
17.(本小题12分)
已知盒中有大小、质地相同的 红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．
(i)写出该试验的样本空间Ω；
(ii)设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
18.(本小题12分)
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4.E，F分别在线段BC和AD上，EF/​/AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．
(Ⅰ)求证：NC//平面MFD；
(Ⅱ)若EC=3，求证：ND⊥FC；
(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值．
19.(本小题12分)
“费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120∘时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为费马点.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1，点P为△ABC的费马点．
(1)求A;
(2)若bc=2，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA;
(3)设|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案解析
1.A
【解析】解：∵1−iz=2+i，
∴z=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2．
则复数z的虚部为32．
2.A
【解析】解：根据题意可得AC=AB+BC=(0,−1)+(2,1)=(2,0)，
故|AC|= 22+02=2．
故选：A．
3.C
【解析】解：A选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
这10年的粮食年产量极差为40−25=15，故 A正确；
B选项，这10年粮食年产量的平均数为28+28+27+26+33+36+40+37+25+3010=31，故B正确；
C选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，
所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故C错误．
D选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数，
这10年的粮食年产量的中位数为28+302=29，故 D正确；
故选：C．
4.D
【解析】解：对于A，若a⊥c，b⊥c，则a、b可能平行，可能异面，可能相交，故A错误；
对于B，若a/​/b，a/​/α，则b/​/α或b⊂α，故B错误；
对于C，以长方体ABCD−A′B′C′D′为例，AB/​/平面A′B′C′D′，CD/​/平面A′B′C′D′，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC与平面A′B′C′D′不垂直，故C错误；
对于D，设α∩β=b，α∩γ=c，
在β内取直线e⊥b，在γ内取直线f⊥c，
由α⊥β，α∩β=b，e⊥b，e⊂β，可得e⊥α，
同理可得f⊥α，故e//f，
又e⊄γ，f⊂γ，故e//γ，
又e⊂β，β∩γ=a，
故e//a，故a⊥α，故D正确．
故选D．
5.B
【解析】解：∵|a|=1，|b|=2，， a与 b的夹角为 45​∘，
∴b在a方向上的投影向量为a·ba·aa= |a|·bcs45°·a=1×2× 22a= 2a．
6.B
【解析】解：由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，⋯，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，
两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：
①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为(1,3)，(3,1)，(1,1)，(3,3)，概率为P1=436=19;
②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为(6,5)，(6,4)，(6,2)，概率为P2=336=112;
③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为(5,6)，(4,6)，(2,6)，概率为P3=336=112；
所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为P=P1+P2+P3=518．
故选：B．
7.B
【解析】解：由题意作出圆台的轴截面，跟外面的球的截面圆得到等腰梯形与圆外接，且两底在圆心两侧(同侧不满足高超过1cm)
其中O为球心，O1和O2分别为圆台的两个底面圆圆心，
由题意易得O1D=4，O2C=3，OD=OC=5，
由勾股定理可得O1O=3，O2O=4.可得圆台的高ℎ=O1O2=7．
所以该圆台的体积为V=13×7×(16π+9π+ 16π×9π)=259π3．
故选B．
8.B
【解析】解： ∵csinA+ 3acsC=0，
∴由正弦定理可得sinCsinA+ 3sinAcsC=0，
因为sinA≠0，所以sinC+ 3csC=0，
可得tanC=sinCcsC= − 3，
由00，
所以由3bcsA=acsB，可得csA>0，
所以tanA=3tanB，且tanB>0，
所以tan(A−B)=tanA−tanB1+tanAtanB=2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB≤22 1tanB×3tanB= 33，
当且仅当1tanB=3tanB，即tanB= 33时等号成立，
又00 ，
则由 PB+PC=tPA 得 m+n=t ；
由余弦定理得 |AB|2=x2+m2x2−2mx2cs120∘=m2+m+1x2 ，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs120∘=n2+n+1x2 ，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs120∘=m2+n2+mnx2 ，
故由 |AC|2+|AB|2=|BC|2 得 n2+n+1x2+m2+m+1x2=m2+n2+mnx2 ，
即 m+n+2=mn ，而 m>0,n>0 ，故 m+n+2=mn≤(m+n2)2 ，
当且仅当 m=n ，结合 m+n+2=mn ，解得 m=n=1+ 3 时，等号成立，
又 m+n=t ，即有 t2−4t−8≥0 ，解得 t≥2+2 3 或 t≤2−2 3 (舍去)，
故实数 t 的最小值为 2+2 3 ．
【解析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简 cs2B+cs2C−cs2A=1 可得 a2=b2+c2 ，即可求得答案；
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
(3)由(1)结论可得 ∠APB=∠BPC=∠APC=120∘ ，设 |PB|=m|PA|,|PC|=n|PA|,|PA|=x ，推出 m+n=t ，利用余弦定理以及勾股定理即可推出 m+n+2=mn ，再结合基本不等式即可求得答案．