2023-2024学年广东省惠州市高一下学期期末质量检测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市高一下学期期末质量检测数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复平面中，复数z=2−3i1+i对应的点的坐标在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列命题中正确的是( )
A. 零向量没有方向B. 共线向量一定是相等向量
C. 若λ为实数，则向量a与λa方向相同D. 单位向量的模都相等
3.已知数据x1,x2,x3,⋯,x8的平均数为10，方差为10，则3x1+2,3x2+2,3x3+2,⋯,3x8+2的平均数和方差分别为( )
A. 32，90B. 32，92C. 30，90D. 30，92
4.已知向量a=1, 2，b=2,0，则向量a在b方向上的投影向量为( )
A. 1,2B. 2,0C. 1,0D. 2,1
5.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n=( )
A. 100B. 120C. 200D. 240
6.设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B. 若m//α，n⊂α，则m//n
C. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β D. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
7.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A表示“两个点数都是偶数”，事件B表示“两个点数都是奇数”，事件C表示“两个点数之和是偶数”，事件D表示“两个点数的乘积是偶数”.那么下列结论正确的是( )
A. A与B是对立事件B. A与C∩D是互斥事件
C. B与D是相互独立事件D. B与C∪D是相互独立事件
8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为8，二面角C1−AB−C的大小为π4，且AC=BC，CC1=2，则点A1到平面ABC1的距离为( )
A. 2B. 22C. 23D. 24
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为4πR2B. 圆锥的侧面积为 5πR2
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
10.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 若(1+i)z=−i，则|z|=1
B. 对任意复数z1，z2，有|z1z2|=|z1|⋅|z2|
C. 对任意复数z1，z2，有z1⋅z2=z1⋅z2
D. 在复平面内，若M={z||z−2|≤2}，则集合M所构成区域的面积为6π
11.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，下列命题正确的是( )
A. 若A=60∘，a=2，则▵ABC面积的最大值为 3
B. 若A=60∘，a=1，则▵ABC面积的最大值为 3
C. 若a=2 3，b=4，要使满足条件的三角形有且只有两个，则A∈π6,π3
D. 若a+b=ccsA+csB，且c=1，则该三角形内切圆面积的最大值为3−2 24π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是 ．
13.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a，中位数为b，则a与b的大小关系为 ．
14.如图，已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，F为A1C1的中点，E为棱BB1上的动点，AA1=2，AB=2，BC=3 2，AC=4.当E是棱BB1的中点，则三棱锥E−ABC体积为 ；当三棱锥A1−AEF的外接球的半径最小时，直线EF与AA1所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中，已知BC=3，AC=4，点P为线段BC中点，AQ=23AB，设CB=a，CA=b．

(1)用向量a，b表示CQ；
(2)若∠ACB=90∘，求AP⋅CQ．
16.(本小题12分)
已知有下面三个条件：
①S= 32⋅AC⋅AB；②ac=csA+1 3sinC；③sinBsinC+sinCsinB=sin2AsinBsinC+1；
请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，且________．
(1)求角A的大小；
(2)若AD是▵ABC的角平分线，且b=2，c=3，求线段AD的长．
17.(本小题12分)
为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%．
(1)根据图1、图2中的数据，补全表格；
(2)求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；
(3)抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，面QAD⊥面ABCD，M是QD的中点．
(1)求证：QB//平面AMC；
(2)求直线AC与平面QCD所成角的正弦值；
(3)在棱QC上是否存在点N使平面BDN⊥平面AMC成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
将连续正整数1，2，⋯，n(n∈N∗)从小到大排列构成一个数123⋯n，F(n)为这个数的位数(如当n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)=15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
(1)求p(100)．
(2)当n≤2021时，求F(n)的表达式．
(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，ℎ(n)=f(n)− g(n)，S={n|ℎ(n)=1,n≤100,n∈N∗}，求当n∈S时p(n)的最大值．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.C
5.B
6.D
7.D
8.A
9.ABC
10.BC
11.AD
12.715
13.a>b
14. 72或12 7； 24或14 2
15.解：(1)如图所示，

AQ=23AB，
所以CQ=CA+AQ=CA+23CB−CA=13CA+23CB=23a+13b，
所以CQ=23a+13b．
(2)点P为线段BC中点，用三点共线的向量表达式结论得AP=12AC+12AB=−12CA+12(−CA+CB)=−CA+12CB=12a−b，
由(1)知CQ=23a+13b，则AP⋅CQ=(12a−b)⋅(23a+13b)=13|a|2−12a⋅b−13|b|2，
∠ACB=90∘，则a⋅b=0.则AP⋅CQ=13×32−13×42=−73．
16.解：(1)选择①：由S= 32⋅AC⋅AB，可得12bcsinA= 32×bccsA，
即sinA= 3csA，即tanA= 3，
因为A∈(0,π)，所以A=π3；
选择②：因为②ac=csA+1 3sinC，由正弦定理得sinAsinC=csA+1 3sinC，
可得 3sinAsinC=sinCcsA+sinC，
因为C∈(0,π)，可得sinC>0，所以 3sinA=csA+1，
即 3sinA−csA=2sin(A−π6)=1，可得sin(A−π6)=12，
因为A∈(0,π)，可得A−π6=π6，所以A=π3；
选择③：由sinBsinC+sinCsinB=sin2AsinBsinC+1，可得sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC，
又由正弦定理得b2+c2−a2=bc，再由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)若AD是▵ABC的角平分线，则∠BAD=∠CBD=π6，
且S△ABC=S△BAD+S△CBD，即12×2×3× 32=12×3×AD×12+12×2×AD×12，
解得AD=6 35．
17.解：(1)数学成绩优秀的有100×50%=50人，不优秀的人100×50%=50人，
经常整理错题的有100×40%+20%=60人，
不经常整理错题的是100−60=40人，经常整理错题且成绩优秀的有50×70%=35人，
所以表格为
(2)由题意可知每组频率依次为0.05,0.1,0.35,20m,0.2，
则0.05+0.1+0.35+20m+0.2=1，解得m=0.015；
因为0.05+0.1+0.35=0.5<0.65，0.05+0.1+0.35+0.3=0.8>0.65，
设第65百分位数为x，可知x∈110,130,
则0.5+0.015x−110=0.65，解得x=120，
所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120．
(3)由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为60100×5=3，设为a,b,c，
“不经常总结整理错题”的人数为40100×5=2，设为A,B，
从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间Ω=ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB，可知nΩ=10，
设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M，则M=ab,ac,bc，即nM=3，
所以PM=nMnΩ=310．
18.解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接OM，
因为底面ABCD是正方形，所以O为BD的 中点，
因为M是QD的中点，所以OM//QB，
因为OM⊂平面ACM，QB⊄平面ACM，
所以QB//平面ACM
(2)因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD，
因为平面QAD⊥平面ABCD，平面QAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面QAD，
因为AM⊂平面QAD，所以CD⊥AM，
因为▵QAD为等边三角形，M是QD的中点，所以AM⊥QD，
因为QD∩CD=D，QD,CD⊂平面QCD，所以AM⊥平面QCD，
所以直线AC与平面QCD所成角为∠ACM，
设正方形ABCD的边长为2，则AM= 3,AC=2 2，
因为AM⊥平面QCD，CM⊂平面QCD，所以AM⊥CM，
所以sin∠ACM=AMAC= 32 2= 64，
即直线AC与平面QCD所成角的正弦值为 64；
(3)存在，当DN⊥CM时，平面BDN⊥平面AMC，
因为AM⊥平面QCD，DN⊂平面平面QCD，所以AM⊥DN，
因为AM∩CM=M，AM,CM⊂平面AMC，
所以DN⊥平面AMC，
因为DN⊂平面BDN，所以平面BDN⊥平面AMC，
设QNNC=k，则QN=kNC，所以QN=kk+1QC，
由(2)知CD⊥平面QAD，
因为QD⊂平面QAD，所以CD⊥DQ，所以DQ⋅QC=0，
因为CM=DM−DC=12DQ−DC，
DN=DG+GN=DQ+kk+1QC=DQ+kk+1(DC−DQ)=kk+1DC+1k+1DQ，
所以CM⋅DN=12DQ−DC⋅kk+1DC+1k+1DQ=0，
所以12(k+1)DQ2−kk+1DC2=0，得12(k+1)=kk+1，解得k=12，
所以当QNNC=12时，平面BDN⊥平面AMC．
19.解：(1)当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率p(100)=11192．
(2)F(n)=n,1⩽n⩽9,2n−9,10⩽n⩽99,3n−108,100⩽n⩽999,4n−1107,1000⩽n⩽2021.
(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N∗)时，g(n)=0;
当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N∗,b∈N)时，g(n)=k=[n10];([x]表示不超过x的最大整数)，
当n=100时，g(n)=11．
故g(n)=[n10],1⩽n⩽99,11,n=100.
同理有f(n)=[n+110],1≤n≤89,n−80,90≤n≤98,20,n=99,100.
由ℎ(n)=f(n)−g(n)=1可知n=9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当n≤100时，S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}．
当n=9时，p(9)=0;
当n=90时，p(90)=g(90)F(90)=9171=119;
当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N∗)时，p(n)=g(n)F(n)=k2n−9=k20k+9．
由于y=k20k+9关于k单调递增，
故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N∗)时，p(n)的最大值为p(89)=8169．
又8169<119，所以当n∈S时，p(n)的最大值为119．
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常总结整理
不经常总结整理
合计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100