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    2023-2024学年广东省汕尾市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题(含解析)

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    2023-2024学年广东省汕尾市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题(含解析)

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    这是一份2023-2024学年广东省汕尾市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题(含解析),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.已知1+iz=2+2i,则z的虚部为( )
    A. 1B. 2C. iD. 0
    2.已知α是三角形一内角,若tanα=2,则csα=( )
    A. 55B. 2 55C. ± 55D. −2 55
    3.集合A=x|y=lnx−1,B=y|y= x+1,x∈A是x∈B的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    4.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则( )
    A. 若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
    B. 若l/​/m,m/​/n,l⊥α,则n⊥α
    C. 若l/​/m,m⊥α,n⊥α,则l⊥n
    D. 若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l/​/m
    5.在2x3−1x6的展开式中,x2的系数是( )
    A. −80B. −60C. 60D. 80
    6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析,数学成绩X近似服从正态分布N72,82,则数学成绩位于[80,88]的人数约为( )参考数据:Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.
    A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
    7.某校高二年级开展课外实践活动,数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度.如图,为测量石像AH的高度,在距离平台1.2米高的C处测得石像顶的仰角为60∘;后退18米到达距离平台1.2米高的D处测得石像顶的仰角为30∘,则石像的高度为( )米.
    A. 9 3+1.2B. 9 6+1.2C. 10 3+1.2D. 18 3+1.2
    8.P是直线3x−4y+5=0上的一动点,过P作圆C:x2+y2−4x+2y+4=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为( )
    A. 2B. 2 2C. 4 2D. 8 2
    二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.函数fx=x3+x−2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x−1,则P点的坐标可以为( )
    A. 1,0B. 2,8C. −1,−4D. 1,4
    10.a=λ,1,b=1,−1,若a在b上的投影向量为b,则( )
    A. λ=3B. a//bC. a⊥a−bD. a−b=2 2
    11.端午节期间,某城市举行龙舟比赛,龙舟比赛途经E桥、F桥、G桥、H桥及I桥,活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点.现有5名志愿者参加其中三座桥一G桥、H桥及F桥的服务,要求这三个服务点都有人参加,记事件A为“甲在G桥服务点”,事件B为“乙和丙分到一起”,则( )
    A. 事件A与事件B相互独立B. PA=13
    C. PB=925D. PBA=625
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.已知an是等比数列,若a1=1,a5=4,则a3= .
    13.已知双曲线C的对称中心是原点,对称轴是坐标轴,若x轴上一点P2,0到双曲线C的渐近线距离为 3,则C的离心率为 .
    14.若函数fx=mx−lnx+m−2有两个零点,则实数m的取值范围是 .
    四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题12分)
    已知数列an是公差为2的等差数列,且满足a1,a3,a4成等比数列.
    (1)求数列an的通项公式;
    (2)已知数列an的前n项和为Sn,求使不等式Sn>an成立的n的最小值.
    16.(本小题12分)
    已知动点P到直线x=−4的距离比到点M(2,0)距离多2个单位长度,设动点P的轨迹为E.
    (1)求E的方程;
    (2)已知过点N(4,0)的直线l交E于A,B两点,且▵OAB(O为坐标原点)的面积为32,求l的方程.
    17.(本小题12分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
    (1)证明:PB//平面AEC.
    (2)若平面DAE与平面AEC的夹角为60∘,AP=1,AD= 3,求AB的长.
    18.(本小题12分)
    某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图如图.
    (1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;
    (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列;
    (3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
    19.(本小题12分)
    已知函数fx=alnx−x+1x(a为正实数).
    (1)讨论函数fx极值点的个数;
    (2)若fx有两个不同的极值点x1,x2x10,先求过点−1,−2曲线μ(x)的切线,设切点为x1,lnx1,
    由μ′(x)=1x,则k=1x1,切线方程为y−lnx1=1x1x−x1,
    将点−1,−2代入方程,−2−lnx1=1x1−1−x1,得1+lnx1=1x1,
    因为1+ln1=11,而y=1+lnx在0,+∞上单调递增,
    y=1x在0,+∞上单调递减,所以方程1+lnx1=1x1只有一解,为x1=1,
    故过点−1,−2曲线μ(x)的切线斜率为1,
    若直线g(x)与曲线μ(x)有两个交点,则m∈0,1,
    此时函数fx=mx−lnx+m−2有两个零点
    故答案为:0,1.
    15.解:(1)等差数列an的公差为2,由a1,a3,a4成等比数列,得(a1+4)2=a1(a1+6),
    解得a1=−8,
    所以数列an的通项公式是an=−8+2(n−1)=2n−10;
    (2)由(1)知,Sn=−8+2n−102⋅n=n2−9n,
    由Sn>an,得n2−9n>2n−10,
    即n2−11n+10>0,而n⩾1,解得n>10,又n∈N∗,所以nmin=11.
    【解析】(1)根据给定条件,列式求出数列an的首项a1即可求出通项;
    (2)求出数列an的前n项和,再列式解不等式即得.
    16.(1)
    因为动点P到直线x=−4的距离比到点M(2,0)距离多2个单位长度,
    所以动点P到直线x=−2的距离和到点M(2,0)距离相等,
    故曲线E是以M(2,0)为焦点,直线x=−2为准线的抛物线,
    所以曲线E的方程为y2=8x.
    (2)
    设Ax1,y1,Bx2,y2,
    易知直线l的斜率不为0,故可设直线l的方程为x=ty+4,
    联立y2=8xx=ty+4,消去x得,y2−8ty−32=0,
    所以y1+y2=8t,y1y2=−32,
    S▵OAB=12ON//y1−y2=2 y1+y22−4y1y2=16 t2+2=32,
    解得t=± 2,
    所以直线l的方程为x+ 2y−4=0或x− 2y−4=0.

    【解析】(1)根据抛物线的定义求解即可;
    (2)设直线l的方程为x=ty+4,联立抛物线方程消去x,然后利用韦达定理结合面积即可求解.
    17.(1)
    连接BD交AC于点O,连接OE,如图,
    因为O为BD的中点,E为PD的中点,
    所以PB//OE.
    又OE⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
    所以PB//平面AEC.
    (2)
    因为PA⊥平面ABCD,AD,AB⊂平面ABCD,
    所以PA⊥AD,PA⊥AB.
    又AB⊥AD,所以PA,AD,AB两两互相垂直,
    故以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间坐标系如图所示,
    设AB=a,则A(0,0,0),C(a, 3,0),P(0,0,1),D(0, 3,0),E0, 32,12,
    所以AC=(a, 3,0),AE=0, 32,12.
    显然m=1,0,0为平面DAE的一个法向量.
    设平面ACE的一个法向量为n=x,y,z,
    则n⋅AC=0,n⋅AE=0,即ax+ 3y=0, 32y+12z=0.
    令z= 3,得n= 3a,−1, 3,
    因为平面DAE与平面AEC的夹角为60∘,
    所以cs⟨m,n⟩=m⋅nmn= 3a 4+3a2=12,
    解得a=32或a=−32(舍去),即AB=32·
    【解析】(1)证明PB//OE,再由线面平行的判定定理得证;
    (2)由PA,AD,AB两两互相垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法求出平面夹角即可得解.
    18.解:(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,
    所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).
    (2)重量超过505的产品数量为12件,则重量未超过505克的产品数量为28件,X的取值为0,1,2,
    X服从超几何分布.
    P(X=0)=C282C402=63130,
    P(X=1)=C121C281C402=2865,
    P(X=2)=C122C402=11130,
    ∴X的分布列为
    (3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为1240=310.
    从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B2,310,
    P(X=k)=C2k(1−310)2−k(310) k,
    所以P(Y=0)=C 20·7102=49100,
    P(Y=1)=C 21·310·710=2150,
    P(Y=2)=C 22·3102=9100.
    ∴Y的分布列为
    【解析】(1)根据频率分布直方图计算出重量超过505克的产品频率,与样本容量相乘即可;
    (2)列出随机变量X的所有可能的取值,分别计算出对应概率,列出分布列求期望即可.
    (3)列出随机变量Y的所有可能的取值,分别计算出对应概率,列出分布列求期望即可.
    19.(1)
    f′x=ax−1−1x2=−x2+ax−1x2,x>0,a>0,
    设gx=−x2+ax−1,
    因为gx开口向下,Δ=a2−4,
    所以当02时,令gx=0,解得x=a± a2−42,且a+ a2−42×a− a2−42=1,
    所以fx在a− a2−42,a+ a2−42上单调递增;在0,a− a2−42和a+ a2−42,+∞上单调递减;此时fx有两个极值点,
    综上,当02时,fx有两个极值点.
    (2)
    (i)证明:由题意及(1)可知a>2,且x1x2=1,
    又因为f1x=aln1x−1x+x=−alnx−1x+x=−fx,
    所以fx1+fx2=fx1+f1x1=0.
    (ii)证明:由(1)知,a>2,t1

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