2023-2024学年安徽省蚌埠市高二下学期7月期末学业水平监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省蚌埠市高二下学期7月期末学业水平监测数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为( )
A. ∃n∈Z，n∉QB. ∃n∈Z，n∈QC. ∀n∈Q，n∈ZD. ∀n∈Z，n∉Q
2.若a=lgπ，b=lnπ，c=lge，其中e是自然对数的底数，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>a>b
3.已知向量a=(1,2)，b=(4,3)，则向量b在a上的投影向量的坐标是( )
A. (2,4)B. (2 5,4 5)C. (25,45)D. (2 55, 55)
4.已知函数f(x)=2x−1,x≤0x12,x>0，若f(m)=3，则m的值为( )
A. 3B. 2C. 9D. 2或9
5.在(2x−1)5的展开式中，x3的系数是( )
A. −80B. −40C. 20D. 80
6.在△ABC中，“A>B”是“cs2AA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(tanx)=sin2x，则函数f(x)的解析式为( )
A. f(x)=2x1−x2(x≠kπ+π2,k∈Z)B. f(x)=2x1−x2
C. f(x)=2x1+x2(x≠kπ+π2,k∈Z)D. f(x)=2x1+x2
8.已知事件A，B，P(B)=13，P(B|A)=34，P(B|A)=12，则P(A)=( )
A. 14B. 13C. 23D. 34
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据点(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)求得的回归直线方程为y=1.5x+0.5，且x=3，现发现两个数据点(1.3,2.1)和(4.7,7.9)的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则( )
A. 变量x和y具有负相关关系
B. 剔除后y不变
C. 剔除后的回归直线方程为y=1.2x+1.4
D. 剔除后对应于样本数据点(2,3.75)的残差为0.05
10.函数f(x)= 2sin(ωx+φ)(ω∈(0,2]，φ∈(−π2,π2))的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. f(x+π)=f(x)
B. x=−π4是曲线y=f(x)的一条对称轴
C. 函数f(x−3π8)是奇函数
D. 若方程f(x)=1在(0,m)上有且仅有6个解，则m∈(5π2,13π4]
11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R.若函数f(2x−3)的图象关于点(2,1)对称，f(3+x)+f(3−x)=10且f(0)=−2，则( )
A. f(x)的图象关于点(1,1)对称B. f(x+4)=f(x)
C. f′(1026)=f′(2)D. i=150f(i)=2501
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合M={x|lg2(x−a)<1}，若2∉M，写出一个满足题意的实数a的值： ．
13.安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A项工作，则不同的安排方式有 种(用数字作答)．
14.函数f(x)=xex在x=0处的切线方程为 ;若g(x)=f(x)−x−lnx+a−2有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x3−ax2+12x+b在x=2处取得极小值5．
(1)求实数a，b的值;
(2)当x∈[0,3]时，求函数f(x)的最大值．
16.(本小题12分)
书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间(单位：小时)并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值(同组数据用该组数据区间的中点值表示)，σ2=3.82．
(1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数(四舍五入取整) ;
(2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ,μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ,μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ,μ+3σ)≈0.9973．
17.(本小题12分)
我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等.为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段(19岁以上)的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：
在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19∼35岁年龄段的概率为316．
(1)请将下列2×2列联表直接补充完整．
并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关?
(2)将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19∼35岁年龄段的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
18.(本小题12分)
定义函数f(x)=msinx+ncsx的“伴随向量”为a=(m,n)，向量a=(m,n)的“伴随函数”为f(x)=msinx+ncsx.
(1)若向量a=(m,n)的“伴随函数”f(x)满足f(π9)f(11π18)=tan7π9，求nm的值;
(2)已知|a|=|b|=2，设OP=λa+μb(λ>0,μ>0)，且OP的“伴随函数”为g(x)，其最大值为t，求(t−2)(λ+μ)的最小值，并判断此时向量a，b的关系．
19.(本小题12分)
若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f:A→B.
设集合A={−5,−3,−1,1,3,5}，B={b1,b2,⋯,bn}(n∈N∗，n≤6)，且B⊆A.设有序四元数集合P={X|X=(x1,x2,x3,x4)，xi∈A且i=1，2，3，4}，Q={Y|Y=(y1,y2,y3,y4)}.对于给定的集合B，定义映射f:P→Q，记为Y=f(X)，按映射f，若xi∈B(i=1,2,3,4)，则yi=xi+1;若xi∉B(i=1,2,3,4)，则yi=xi.记SB(Y)=i=14yi．
(1)若B={−5,1}，X=(1,−3,−3,5)，写出Y，并求SB(Y);
(2)若B={b1,b2,b3}，X=(1,−3,−3,5)，求所有SB(Y)的总和;
(3)对于给定的X=(x1,x2,x3,x4)，记i=14xi=m，求所有SB(Y)的总和(用含m的式子表示)．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定是“∃n∈Z ，n∉Q”.
2.【答案】B
【解析】解：因为lnπ>lne=1，lge故b>a>c
3.【答案】A
【解析】解：由题意，得|a|= 5，a⋅b=10，
则向量b在a上的投影向量的坐标是a⋅b|a|aa=2a=(2,4)
4.【答案】C
【解析】解：当x⩽0时，2x⩽1，故2x−1⩽0，不可能等于3;
所以x>0，此时f(m)=m12=3
∴m=9．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：由二项式 (2x−1)5 的通项为 C5k(2x)5−k(−1)k 可得，
当 5−k=3 ，即 k=2 时，展开式中含有 x3 项，
此时 C52(2x)3(−1)2=8C52x3=80x3 ，
因此 x3 的系数为80 ．
故选：D
6.【答案】C
【解析】解： 在ΔABC中，
因为“A>B”，可得a>b，
由正弦定理 asinA=bsinB=2R，R为三角形ABC的外接圆半径，
所以sinA>sinB>0，则sin2A>sin2B，−2sin2A<−2sin2B，
所以1−2sin2A<1−2sin2B，则cs2A因为cs2Asin2B，
而A，B均为三角形ABC的内角，则sinA>，sinB>0，
进而sinA>sinB，由正弦定理 asinA=bsinB=2R，R为三角形ABC的外接圆半径，
所以a>b，则A>B，故必要性成立，
所以“A>B”是cs2A故选C．
7.【答案】D
【解析】解：因为f(tanx)=sin2x=2sinxcsx=2sinxcsxsin2x+cs2x=2tanx1+tan2x，
故f(x)=2x1+x2
8.【答案】C
【解析】解：因为P(B)=13，则PB=1−PB=23，
因为P(B|A)=PBAPA=34，
则PBA=34PA，
又P(B|A)=PA BPA=12，
则PA B=12PA=121−PA，
又PB=PBA+PA B，
所以23=34PA+121−PA，可得PA=23．
故选C．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，由剔除前回归直线的斜率为 1.5 ，剔除后重新求得的回归直线 l 的斜率为 1.2 ，
两者均大于0，则变量 x 与 y 具有正相关关系，A错误；
对于B，剔除前 y=1.5x+0.5=5 ，
而剔除的两个数据点 1.3+4.72=3=x ， 2.1+7.92=5=y ，
因此剔除后 y 不变，B正确；
对于C，剔除后 x=3 ， y=5 ，而回归直线 l 的斜率为 1.2 ，则回归直线方程为 y=1.2x+1.4 ，C正确；
对于D，剔除后的回归直线方程为 y=1.2x+1.4 ，当 x=2 时， y=3.8 ，则残差为 3.75−3.8=−0.05 ，D错误．
故选：BC．
10.【答案】ACD
【解析】解：由f(0)=−1，得 2sinφ=−1，即sinφ=− 22，
又−π2<φ<π2，∴φ=−π4，
又f(x)的图象过点(π8,0)，则f(π8)=0，即sin(ωπ8−π4)=0，
∴ωπ8−π4=kπ，即得ω=8k+2，k∈Z，
又0<ω≤2，∴ω=2，
所以f(x)= 2sin(2x−π4)
对于A、f(x+π)= 2sin[2(x+π)−π4]= 2sin(2x−π4)=f(x)，故A正确；
对于B、因为f(−π4)= 2sin⁡(−3π4)=−1，故B错误
对于C、f(x−3π8)= 2sin(2x−π)=− 2sin2x，是奇函数，故C正确；
对于D，由f(x)=1，得sin(2x−π4)= 22，解得x=π4+kπ或π2+kπ，k∈Z，
方程f(x)=1在(0,m)上有6个根，从小到大依次为：π4，π2，5π4，3π2，9π4，5π2，
而第7个根为13π4，所以5π211.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由f(2x−3)的图像关于点(2,1)对称，得f(2x−3)+f(2(4−x)−3)=2，
即f(2x−3)+f(5−2x)=2，于是fx+f2−x=2，所以f(x)的图象关于点(1,1)对称，所以A正确；
对于B，由f(3+x)+f(3−x)=10，得fx+f6−x=10，又fx+f2−x=2，所以f6−x−f2−x=8，于是fx+4=fx+8，所以B错误．
对于C，由fx+4=fx+8，得f′x+4=f′x，所以f′x是周期为4的周期函数，于是f′1026=f′256×4+2=f′2，所以C正确；
对于D，根据fx+f2−x=2，令x=1，得f1=1，又f0=−2，令x=2，得f2=4，根据fx+f6−x=10，令x=3，得f3=5，令x=4，得：f4=f0+8=6，所以f1+f2+f3+f4=16，
因为fx+4=fx+8，所以数列f1+f2+f3+f4，f5+f6+f7+f8，···，f45+f46+f47+f48是首项为16，公差为32的等差数列，于是i=150fi=12×16+12×112×32+f49+f50=12×16+12×112×32+f1+96+f2+96=2501．
D正确．
故选ACD．
12.【答案】2(答案不唯一)
【解析】解：因为lg2(x−a)<1，所以0又因为2∉M，所以a⩾2或a⩽0，
故答案为：2.(答案不唯一)
13.【答案】1170
【解析】解：由题将6项工作分为2类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1;
第二类，4人完成的工作数为2，2，1，1，再将工作分组进行分配，每一类中需减去甲完成A项工作的情况;
第一类的安排方式为C63C31C21C11A33A44−C53C21C11A22A33−C52A33=480−60−60=360(种) ;
第二类的安排方式为C64C42C21C11A22A22A44−C52C32C11A22A33−C51C42C21C11A22A33=1080−90−180=810(种);
故一共有360+810=1170(种)．
14.【答案】x−y=0；(−∞,1)
【解析】解：由题意得f(0)=0，f′(x)=ex+xex，则f′(0)=1，
所以函数f(x)=xex在x=0处的切线方程为y=x，即x−y=0；
因为g(x)=f(x)−x−lnx+a−2有两个零点，所以xex−x−lnx+a−2=0有两个解，
即a=2−xex+x+lnx有两个解，
令ℎ(x)=2−xex+x+lnx，则ℎ′(x)=−ex−xex+1+1x=−(x+1)(ex−1x)，
令ℎ′(x)=0，得ex=1x，设ℎ′(x)=0的根为x0，则ex0=1x0，所以x0=−lnx0，
所以ℎ(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，
所以ℎ(x)max=ℎ(x0)=2−x0ex0+x0+lnx0=2−x0×1x0+x0−x0=1，
当x→0时，ℎ(x)→−∞，当x→+∞时，ℎ(x)→−∞，
所以实数a的取值范围是(−∞,1)．
15.【答案】解：(1)f′(x) =6x2−2ax+12，
因为f(x)在x=2处取极小值5，所以f′(2)=24−4a+12=0，
得a=9，
此时f′(x)=6x2−18x+12=6(x−1)(x−2)，
所以f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=2时取极小值，符合题意．
所以a=9，f(x)=2x3−9x2+12x+b．
又f(2)=4+b=5，所以b=1.综上，a=9，b=1．
(2)由(1)知f(x) =2x3−9x2+12x+1，f′(x) =6(x−1) (x−2)
列表如下：
由于6<10，故x∈[0,3]时，f(x)max=f(3)=10．
【解析】(1)f(x)在x=2处取得极小值5，求导可求出a的值，结合单调性解答b的值；
(2)求出函数在[0,3]上的单调区间，从而得出函数的最大值．
16.【答案】解：(1)样本中100名学生每周阅读时间的均值为：2×0.1+6×0.2+10×0.3+14×0.25+18×0.15=10.6，
即μ=10.6，又σ=3.8，
所以X∼N(10.6,3．82)，
所以P(X≤6.8)=P(X≤μ−σ)
=12×(1−0.6827)=0.15865，
所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：0.15865×1000≈159(人)．
(2)因为X∼N(10.6,3．82)，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为P(X>10.6)=12，可得Y∼B(5,12)，
故P(Y=0)=C50(12)5=132，P(Y=1)=C51(12)5=532，P(Y=2)=C52(12)5=516，P(Y=3)=C53(12)5=516，P(Y=4)=C54(132)5=532，P(Y=5)=C55(12)5=132，
随机变量Y的分布列为：
故E(Y)=5×12=52，D(Y)=5×12×12=54
【解析】(1)由直方图求出均值，结合X服从正态分布，计算P(X≤6.8)即可求解；
(2)求出Y服从二项分布，利用二项分布的知识与性质求出分布列、均值与方差．
17.【答案】解：(1)
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400×(120×125−75×80)2195×205×200×200≈20.263>10.828，
则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关．
(2)按照分层随机抽样，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，其中在19∼35岁年龄段的人数为5×120200=3，35岁以上的人数为2，
从5人中任意取2人，共有C52=10种情况，其中恰有1人在19∼ 35岁年龄段的有C31C21=6种情况，故2人中恰有1人在19∼ 35岁年龄段的概率为P=610=35．
【解析】(1)先完成列联表，再由公式求出χ2，与临界值表对照，即可求解；
(2)根据古典概型的计算公式进行求解即可。
18.【答案】解：(1)由题意知，向量a=(m,n)的“伴随函数”为f(x)=msinx+ncsx，
所以f(π9)f(11π18)=msinπ9+ncsπ9msin11π18+ncs11π18=msinπ9+ncsπ9mcsπ9−nsinπ9=tanπ9+nm1−tanπ9×nm ，
令nm=tanθ，上式化为tan(θ+π9)=tan7π9，
所以θ+π9=kπ+7π9，θ=kπ+2π3，k∈Z，
即nm=tanθ=tan2π3=− 3．
(2)设a=(2csα,2sinα)，b=(2csβ,2sinβ)，
因为OP=λa+μb=(2(λcsα+μcsβ),2(λsinα+μsinβ))，
所以g(x)=2(λcsα+μcsβ)sinx+2(λsinα+μsinβ)csx=2λ(csαsinx+sinαcsx)+2μ(csβsinx+sinβcsx)=2λsin(x+α)+2μsin(x+β)，
令ℎ(x)=2λsin(x+α)+2μsin(x+β)，
若x0满足x0+α=π2+2k1π,x0+β=π2+2k2π,
则x=x0时，t=2λ+2μ，其中k1，k2∈Z，
此时α−β=2(k1−k2)π，即α=β+2kπ，k∈Z，故a=b．
从而(t−2)(λ+μ)=t(t−2)2=(t−1)22−12≥−12，
等号当且仅当t=1时成立，
所以(t−2)(λ+μ)的最小值为−12，此时a=b．
【解析】(1)由“伴随函数”的定义和三角函数的诱导公式，计算可得所求值；
(2)设向量坐标，由向量的坐标运算和二次函数最值，可得结论．
19.【答案】解：(1)由题知，
Y=f(X)=f((1,−3,−3,5))=(1+1，−3，−3，5)=(2，−3，−3，5)，
所以SB(Y)=2−3−3+5=1．
(2)对1，−3，5是否属于B进行讨论
①含1的B的个数为C52=10，
此时在映射f下，y1=1+1=2；
不含1的B的个数为C53=10，
此时在映射f下，y1=1；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为C52=10，
此时在映射f下，y4=5+1=6;
不含5的B的个数为C53=10，
此时在映射f下，y4=5；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10，
③含−3的B的个数为C52=10，
此时在映射f下，y2=−3+1=−2，y3=−3+1=−2;
不含−3的B的个数为C53=10，
此时在映射f下，y2=−3，y3=−3；
所以所有Y中−2的总个数和−3的总个数均为20，
综上，所有SB(Y)的总和为10×(1+2+5+6)+20×(−2−3)=140−100=40；
(3)对于给定的X=(x1,x2,x3,x4)，考虑x1在映射f下的变化，
由于在A的所有非空子集中，含有x1的子集B共25个，
所以在映射f下x1变为y1=x1+1，
不含x1的子集B共25−1个，在映射f下x1变为y1=x1，
所以在映射f下得到的所有y1的和为
25(x1+1)+(25−1)x1=63x1+32；
同理，在映射f下得到的所有yi(i=2,3,4)的和为
25(x1+1)+(25−1)xi=63xi+32；
所以所有SB(Y)的总和为63(x1+x2+x3+x4)+32×4=63m+128．
【解析】(1)先理解映射的定义，即可求解；
(2)对1，−3，5是否属于B进行讨论，即可求解．
(3)对于给定的X=(x1,x2,x3,x4)，考虑x1在映射f下的变化，在映射f下x1变为y1=x1，所以在映射f下得到的所有y1的和为25(x1+1)+(25−1)x1=63x1+32；同理，在映射f下得到的所有yi(i=2,3,4)的和为25(x1+1)+(25−1)xi=63xi+32.即可解答．偏好新能源汽车
偏好燃油车
合计
19∼35岁
35岁以上
合计
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
偏好新能源汽车
偏好燃油车
合计
19∼35岁
120
75
195
35岁以上
80
125
205
合计
200
200
400