2024-2025学年度北师版九上数学-第四章-图形的相似-回顾与思考【课件】

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第四章　图形的相似回顾与思考数学 九年级上册 BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1要点回顾 等于　ad ＝ bc ad ＝ bc 　  BC 　AC 　2. 平行线分线段成比例.（1）定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（2）推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.（3）基本图形：3. 相似三角形的判定及性质.（1）相似三角形的判定.①定理一：两角分别 的两个三角形相似（最常用的判定）.②定理二：两边成比例且 相等的两个三角形相似.③定理三：三边 的两个三角形相似.相等　夹角　成比例　（2）相似多边形的判定：每个角对应相等、每条边对应成比例的多边形相似.（3）相似三角形（多边形）的性质.①定理一：相似三角形 的比、 ⁠的比和 的比都等于相似比.②定理二：相似三角形（多边形）的周长比等于 ⁠，面积比等于 ⁠.对应高　对应角平分线　对应中线　相似比　相似比的平方　4. 图形的位似.（1）一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P ， P '所在的直线都经过同一点 O ，且有 OP '＝ k · OP （ k ≠0），那么这样的两个多边形叫做 ，这个点 O 叫做 ， k 就是这两个相似多边形的相似比，每组位似对应点与位似中心共线.（2）位似多边形除具有相似多边形的所有性质外，还具有下列性质：①对应顶点的连线经过位似中心；②对应边平行或在同一条直线上； ③对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比.位似多边形　位似中心数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练要点一　成比例线段与黄金分割 （1）下面四组线段中，成比例的是（　B　）B 【点拨】根据成比例线段的定义，注意在相乘的时候，最长的和最短的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等.若线段带单位，注意单位要统一.（2）已知点 P 是线段 MN 的黄金分割点，当 MN ＝1时， PM 的长是 ⁠.    1. 已知线段 a ， b ， c ， d 是成比例线段，其中 b ＝3 cm， d ＝4 cm， c ＝6 cm，则线段 a 的长度可能为（　B　）2. 若乐器上一根弦 AB ＝80 cm，两端点 A ， B 固定在乐器板面上，期间支撑点 C 是 AB 的黄金分割点（ AC ＞ BC ），则 BC 的长是（　C　）BC要点二　 平行线分线段成比例 如图，已知直线 l1∥ l2∥ l3， AC 分别交 l1， l2， l3于点 A ， B ， C ； DF 分别交 l1， l2， l3于点 D ， E ， F ， AC 与 DF 交于点 O ，且 DE ＝3， EF ＝6， AB ＝4.（1）求 AC 的长；   【点拨】此题考查了平行线分线段成比例与相似三角形的性质，这两者有所区别.其中，第（2）问涉及 BE ， CF ，但 BE ， CF 并不是被平行线截得的线段，考虑利用相似三角形的性质进行解答. 如图，在△ ABC 中，已知 DE ∥ BC ， EF ∥ AB ，且 AD ∶ DB ＝3∶2， BC ＝25，求 FC 的长.解：∵ DE ∥ BC ，∴ EC ∶ AE ＝ BD ∶ AD . ∵ EF ∥ AB ，∴ EC ∶ AE ＝ FC ∶ BF . ∴ FC ∶ BF ＝ BD ∶ AD . ∵ AD ∶ DB ＝3∶2，∴ BD ∶ AD ＝2∶3.∴ FC ∶ BF ＝2∶3.∴ FC ∶ BC ＝2∶5，即 FC ∶25＝2∶5.∴ FC ＝10.要点三　相似多边形 如图，已知四边形 ABCD ∽四边形 A1 B1 C1 D1，∠A ＝80°，∠B ＝75°，∠ C ＝125°，求∠ D1的度数以及 x 的值. 　　　　  【点拨】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键. 如图，已知四边形 ABCD ∽四边形 A ' B ' C ' D '，求 x ， y 的值以及∠ C '的度数. 要点四　相似三角形的性质与判定 （1）如图，点 P 是正方形 ABCD 的边 AB 上一点（不与点 A ， B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 按顺时针方向旋转90°得到线段 PE ， PE 交边 BC 于点 F ，连接 BE ， DF .  解：①∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ A ＝∠ PBC ＝90°， AB ＝ AD . ∴∠ ADP ＋∠ APD ＝90°.由题意可知，∠ DPE ＝90°，∴∠ APD ＋∠ FPB ＝90°.∴∠ FPB ＝∠ ADP ＝32°. 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确应用三角形相似的性质是解题的关键.（2）如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝10 cm， BC ＝8 cm.点 P 从点 C 出发，以2 cm/s的速度沿 CA 向点 A 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以1 cm/s的速度沿 BC 向点 C 匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止.经过几秒，△ PCQ 与△ ABC 相似？解：设经过 t s，△ PCQ 与△ ABC 相似.∵∠ C ＝∠ C ，∴分为两种情况：  【点拨】本题考查相似三角形中的动点问题，解决此类问题时一定要注意三角形相似时的对应边，若对应边不确定时，要注意进行分类讨论. 1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任意一点，连接 AM 并将线段 AM 绕点 M 按顺时针方向旋转90°得到线段 NM ，与 CD 交于点 Q . 在 CD 边上取点 P 使 CP ＝ BM ，连接 NP ， BP ， AQ . （1）求证： BP ＝ MN ； （2）若△ MCQ ∽△ AMQ ，求证： BM ＝ MC .  2. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ＝10 cm， BC ＝16 cm.点 D 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 匀速运动，同时点 E 从点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1 cm/s，连接 DE . 设运动时间为 t （s）（0＜ t ＜10）.解答下列问题：（1）当 t 为何值时，△ BDE 的面积为7.5 cm2？  （2）在点 D ， E 的运动过程中，是否存在时间 t ，使得△ BDE 与△ ABC 相似？若存在，请求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由. 要点五　相似三角形的实际应用 学习了相似三角形的相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度.如图1，小明站立在地面点 F 处，他的同学在点 B 处竖立“标杆” AB ，使小明的头顶点 E 、杆顶点 A 、楼顶点 C 在一条直线上（点 F ， B ， D 也在一条直线上）.已知小明的身高 EF ＝1.5 m，“标杆” AB ＝2.5 m， BD ＝23 m， FB ＝2 m.（1）求大楼 CD 的高度（ CD 垂直于地面 BD ）；（2）如图2，小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼 CD 上点 G 的高度 GD ＝11.5 m，则相对于第一次测量，标杆 AB 应该向大楼方向移动多少米？（2）设标杆 AB 移动至 A1 B1处.如图2，过点 E 作 ET ⊥ CD 于点 T ，交 A1 B1于点 R . 设 B1 F ＝ x m.∵ A1 R ∥ GT ，∴△ EA1 R ∽△ EGT .   ∴ x ＝2.5.∴标杆 AB 应该向大楼方向移动2.5－2＝0.5（m）.【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形.属于中考常考题型. 如图，小丁家窗外有一堵围墙 AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点 C 射进房间地面的 D 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点 E 射进房间地面的 F 处， AB ⊥ BD 于点 B ， CE ⊥ BD 于点 O ，小丁测得 OE ＝1 m， CE ＝1.5 m， OF ＝1.2 m， OD ＝12 m，求围墙 AB 的高度. 要点六　图形的位似 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A （2，1）， B （1，4）， C （3，2）.请解答下列问题：（1）画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1 B1 C1，并直接写出点 C1的坐标；（2）以原点 O 为位似中心，相似比为1∶2，在 y 轴的右侧，画出△ ABC 放大后的△ A2 B2 C2，并直接写出点 C2的坐标；解：（1）如图，△ A1 B1 C1即为所求作图形， C1（－3，2）.（2）如图，△ A2 B2 C2即为所求作图形， C2（6，4）.（3）若点 D （ a ， b ）在线段 BC 上，请直接写出经过（2）的变化后点 D 的对应点 D2的坐标.（3）∵原点 O 为位似中心，相似比为1∶2， D （ a ， b ），∴点 D 的对应点 D2的坐标为（2 a ，2 b ）.【点拨】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点的位置是解题的关键. 已知△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 A ， B ， C 的坐标分别为（1，0），（4，－1），（3，2）.△ A1 B1 C1与△ ABC 是以点 P 为位似中心的位似图形.（1）请在图中画出点 P 的位置，并写出点 P 的坐标；解：（1）如图，点 P 即为所求作的点，点 P 的坐标为（0，－2）.（2）以点 O 为位似中心，在 y 轴左侧画出△ ABC 的位似图形△ A2 B2 C2，使相似比为1∶1.若点 M （ a ， b ）为△ ABC 内一点，请直接写出点 M 在△ A2 B2 C2内的对应点 M2的坐标.解：（2）如图，△ A2 B2 C2即为所求作图形，点 M 的对应点 M2的坐标为（－ a ，－ b ）.演示完毕 谢谢观看