2024-2025学年度北师版九上数学-专题3-一元二次方程的解法【课件】

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第二章　一元二次方程专题3　一元二次方程的解法数学 九年级上册 BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1专题解读◎问题综述 一元二次方程常与几何图形及实际应用问题等结合考查，在考试中出现得比较频繁，所以如何在考试中提高解题效率就非常重要.在解一元二次方程时，关键在于灵活选择解法，以提高计算能力.有时可能需要将几种解法综合起来使用，而选择最合适解法的依据是善于观察方程的具体结构特征.◎要点归纳一元二次方程各种解法的关键.（1）直接开平方法：将方程化为（ mx ＋ n ）2＝ a （ a ≥0）的形式；（2）配方法：先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上一次项系数 的平方；（3）公式法：把一元二次方程化为 ，正确写出 a ， b ， c 的值；（4）因式分解法：使方程的右边为 ⁠；（5）换元法：把某一部分看作一个整体，用一个新的未知数代替. 其中配方法与公式法是通法.一半　一般形式　0　数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练① x2＋2 x －143＝0；　　 ②3 x2＋3 x －1＝0解：①移项，得 x2＋2 x ＝143.配方，得 x2＋2 x ＋1＝143＋1，即（ x ＋1）2＝144.开方，得 x ＋1＝±12.解得 x1＝11， x2＝－13. 【点拨】配方法的一般步骤：①将一元二次方程化为一般形式；②二次项系数化为1；③常数项移到等号右边；④等号两边都加上一次项系数一半的平方，并配方；⑤开方，求解.配方法的关键在于第②④两步，这两步一定不能漏掉. 配方法一般在直接解方程中很少用到，但在求最大值或最小值、比较代数式的大小、解特殊方程中常用到.（2）用公式法解下列方程：①2 x2－3 x －4＝0； ②2 x2＋5 x ＝6 x2＋5； ③（ x －1）（3 x ＋2）＝4 x ＋6. ②整理，得4 x2－5 x ＋5＝0.这里 a ＝4， b ＝－5， c ＝5.∵ b2－4 ac ＝（－5）2－4×4×5＝－55＜0，∴原一元二次方程无解. 【点拨】用公式法求解一元二次方程的一般步骤：①化简，并整理成 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的形式；②计算判别式Δ的值，判断方程是否有解；③若Δ≥0，则可用公式法求解.需要注意的是，若Δ＞0，则原方程有两个不同的实数根；若Δ＝0，则原方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则原方程无实数根.此题中，第③问还可以用因式分解法求解. 1. 用配方法解下列方程：（1） x2－6 x －3＝0；   2. 用公式法解下列方程：（1）4 x2－8 x ＋3＝0； （2）（2 x ＋1）（ x －2）＝6； （3）7 x2＋9＝6 x2－26 x －160.解： x1＝ x2＝－13.类型二　用因式分解法、换元法解方程 （1）用因式分解法解下列方程：①（4 x ＋1）2－ x2＝0； ②（ x －4）2－2 x ＋8＝0. ②原方程可变形为（ x －4）2－2（ x －4）＝0.∴（ x －4）（ x －4－2）＝0.∴（ x －4）（ x －6）＝0.∴ x －4＝0，或 x －6＝0.∴ x1＝4， x2＝6.【点拨】因式分解法求解一元二次方程的一般步骤：①化简；②因式分解；③得出方程的解.因式分解法是解一元二次方程的首选方法，特点是计算量小.因式分解的常用法：提取公因式法、公式法（平方差公式和完全平方公式）、十字相乘法、分组分解法等.（2）用换元法解下列方程：① x4－ x2－6＝0； ②（ x2－ x ）2－5（ x2－ x ）＋6＝0.  【点拨】用换元法把复杂的方程转化为一般的一元二次方程.换元法求解的一般步骤：①确定需要替换的部分；②代入新的未知数；③解出新的未知数；④根据第①步中的关系式，得出原方程的解. 1. 用因式分解法解下列方程：（1）4 x2－4 x －15＝0； （2）3（ x ＋5）2＝ x2－25.解： x1＝－5， x2＝－10.2. 用换元法解下列方程：（1） x2－｜ x ｜－6＝0；解： x1＝3， x2＝－3.  类型三　用合适的方法解一元二次方程 用合适的方法解下列方程：  （2）方程可变形为 x2－6 x ＋8＝0.因式分解，得（ x －2）（ x －4）＝0.解得 x1＝2， x2＝4. 【点拨】解一元二次方程或特殊方程，主要用配方法、公式法、因式分解法、换元法等.一般优先选用因式分解法；若无法因式分解，才考虑公式法；若原方程是特殊的方程（如 x2－｜ x ｜－6＝0等），可考虑换元法. 用合适的方法解下列方程：（1）6 x2－ x －2＝0； （2） x2＋5 x －2＝0；   类型四　与一元二次方程有关的综合问题 已知关于 x 的一元二次方程 mx2－（ m ＋2） x ＋2＝0.（1）证明：当 m ≠0时，该方程总有实数根；（2）当 m 为何整数时，该方程有两个不相等的正整数根.  【点拨】（1）对于含参的一元二次方程，由因式分解法求出两根是常用的方法，另外，还可以直接用公式法得到方程的根.（2）需掌握用根的判别式判断根的情况.（3）针对综合性问题，要把握条件，分别去分析，做到不遗漏.如本题中第（2）问，可得到几个条件：① m 为整数， m ≠0；②Δ＞0；③ x1， x2都是正整数. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 mx －3 m2＋8 m －4＝0.（1）当 m ＞2时，试判断该方程根的情况；（2）若该方程的两个实数根一个大于5，另一个小于2，求 m 的取值范围.解：（1）Δ＝（－2 m ）2－4（－3 m2＋8 m －4）＝16 m2－32 m ＋16＝16（ m －1）2.∵ m ＞2，∴16（ m －1）2＞0，即Δ＞0.∴该方程总有两个不相等的实数根. 演示完毕 谢谢观看