2024-2025学年度北师版九上数学-专题4-一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的综合应用问题【课件】

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第二章　一元二次方程专题4　一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的综合应用问题数学 九年级上册 BS版课前导入典例讲练目录CONTENTS专题解读数学 九年级上册 BS版0 1专题解读◎问题综述 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是一元二次方程中的两种重要工具，前者用来判断根的存在情况，属于定性判断；后者用来研究根之间的关系，属于定量计算.两者一般结合使用，先判断根的情况，再计算.由于没有直接求出方程的两根，因此大大减少了计算量，熟练运用这两种工具可以有效提高解题效率.◎要点归纳1. 我们把 叫做一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的判别式，通常用“ ”表示.一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的情况可由Δ＝ b2－4 ac 来判断.（1）若 ，则方程有两个不相等的实数根；（2）若 ，则方程有两个相等的实数根；（3）若 ，则方程没有实数根.b2－4 ac 　Δ　Δ＞0　Δ＝0　Δ＜0　 一元二次方程的根与系数的关系中常见的变形公式：      （5）（ x1＋ m ）（ x2＋ m ）＝ x1 x2＋ m （ x1＋ x2）＋ m2.注意：运用一元二次方程根与系数的关系时要检查两个隐含条件：（1）确定方程一定是一元二次方程；（2）确定方程有实数根.数学 九年级上册 BS版0 2课前导入探索一元二次方程的根与系数的关系算一算 解下列方程并完成填空：(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.-4123-1x1 + x2 = -3x1·x2 = -4x1 + x2 = 5x1·x2 = 6将二次项系数化为 1猜一猜 （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？重要发现方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式(x - x1)(x - x2) = 0x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0x2 + px + q = 0x1 + x2 = -p， x1·x2 = q猜一猜（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以得到什么结论？证一证：注：b2 - 4ac≥0↗一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为x1， x2，那么满足上述关系的前提条件b2 - 4ac≥0.归纳总结数学 九年级上册 BS版0 3典例讲练类型一　不解方程，判断根的情况 关于 x 的一元二次方程 x2＋（ k －3） x ＋1－ k ＝0的根的情况是 ⁠.有两个不相等的实数根　【解析】Δ＝（ k －3）2－4（1－ k ）＝ k2－6 k ＋9－4＋4 k ＝ k2－2 k ＋5＝（ k －1）2＋4.∵（ k －1）2＋4＞0，∴Δ＞0.∴方程总有两个不相等的实数根.故答案为有两个不相等的实数根. 1. （2023·河南）关于 x 的一元二次方程 x2＋ mx －8＝0的根的情况是（　A　）A2. 直线 y ＝ x ＋ a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2＋2 x ＋1＝0实数解的个数是（　D　）D类型二　根据方程根的情况，求待定系数的取值范围 若关于 x 的方程（ k －1）2 x2＋（2 k ＋1） x ＋1＝0有实数根，则 k 的取值范围是（　D　）D 【点拨】此题中容易将方程默认为一元二次方程，从而得出“ k ≠1”的错误结论.在含参方程问题中，根据根的情况求待定系数的取值范围，一般解题步骤：（1）讨论二次项系数是否为0.①若二次项系数等于0，则不是一元二次方程，可能是一元一次方程；②若二次项系数不等于0，则是一元二次方程.（2）根据一元二次方程根的情况，判断判别式的正负性，并列不等式.（3）求解不等式.（4）对于前述的分类讨论，需要写出总结语，如“综上所述，……”. 1. （2023·聊城）若关于 x 的一元二次方程 mx2＋2 x ＋1＝0有实数解，则 m 的取值范围是（　D　）D2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ k ＝0有实数根.（1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（ m －1）x2＋ x ＋ m －3＝0与方程 x2－3 x ＋ k ＝0有一个相同的根，求此时 m 的值. 类型三　利用根与系数的关系求代数式的值 －18.5　    2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 x － k ＝0有两个不相等的实数根.2 028　（1）求 k 的取值范围；解：（1）∵该方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4＋4 k ＞0.解得 k ＞－1.∴ k 的取值范围为 k ＞－1.  类型四　利用根与系数的关系求参数的值 若关于 x 的一元二次方程 x2－4 x ＋ m ＝0的两个实数根分别为 x1， x2，且 x1＋3 x2＝5，则 m 的值为（　A　）A 【点拨】对于根与系数的关系，需要熟练并灵活运用.处理“利用根与系数的关系求参数的值”问题，核心是列出方程（组），然后再解方程（组）.需要注意的是，求出参数后，需要检验：把参数的值代入原方程，求出判别式，检查Δ≥0是否成立；检查二次项系数是否为0. 1. 已知关于 x 的方程 x2＋2（ m －1） x ＋ m2－ m ＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，则 m 的值为（　A　）A2. （2023·黄冈）已知关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ k ＝0的两个实数根为 x1， x2.若 x1 x2＋2 x1＋2 x2＝1，则实数 k ＝ ⁠.3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋ m ＋4＝0有两个实数根 x1， x2.－5　（1）求 m 的取值范围；解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋ m ＋4＝0有两个实数根 x1， x2，∴Δ＝（－6）2－4（ m ＋4）＝20－4 m ≥0，解得 m ≤5.∴ m 的取值范围为 m ≤5.（2）若 x1， x2满足3 x1＝｜ x2｜＋2，求 m 的值.解：（2）∵关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋ m ＋4＝0有两个实数根 x1， x2，∴ x1＋ x2＝6，①　 x1 x2＝ m ＋4.②∵3 x1＝｜ x2｜＋2，∴有以下两种情形：当 x2≥0时，有3 x1＝ x2＋2.③ 联立①③，解得 x1＝2， x2＝4.∴由②，得8＝ m ＋4.∴ m ＝4. 当 x2＜0时，有3 x1＝－ x2＋2.④联立①④，解得 x1＝－2， x2＝8（不符合题意，舍去）.综上所述， m 的值为4.演示完毕 谢谢观看