2024-2025学年度北师版九上数学-总复习-期末复习课（一）（第一章 特殊平行四边形）【课件】
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总复习 期末复习课期末复习课（一） （第一章 特殊平行四边形）数学 九年级上册 BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1知识梳理1. 特殊平行四边形的网络图（特殊平行四边形的判定）.2. 菱形的性质.（1）边：菱形的四条边 .（2）对角线：菱形的对角线互相 ，并且平分每一 组 .（3）对称性：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴；②菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.注：菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.相等 垂直平分 对角 3. 矩形的性质.（1）角：矩形的四个角都是 .（2）对角线：矩形的对角线 ， 且互相 .（3）对称性：①矩形是轴对称图形，有两条对称轴；②矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.直角 相等 平分 4. 正方形的性质.（1）角：正方形的四个角都是 .（2）边：正方形的四条边 .（3）对角线：正方形的对角线 且互相 .（4）对称性：①正方形是轴对称图形，有四条对称轴；②正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.注：正方形具有菱形、矩形的一切性质.直角 相等 相等 垂直平分 5. 面积问题.（1）菱形的面积等于对角线乘积的一半；（2）矩形的面积等于长×宽；（3）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线乘积的 一半.6. 直角三角形斜边中线定理.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .一半 数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练 ①②③④ 综上所述，正确的结论有①②③④.【点拨】本题考查了线段垂直平分线的作图方法、线段中垂线的性质、菱形的判定及性质定理、勾股定理等，是中考的一个常考点.熟练掌握并灵活运用相关定理是解题的关键. B【解析】如图，设 AC 与 MN 的交点为点 O .根据作图可得， MN 垂直平分 AC . ∴ AO ＝ CO . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ∥ BC . ∴∠ EAO ＝∠ OCF . 又∵∠ AOE ＝∠ COF ， AO ＝ CO ，∴△ AOE ≌△ COF （ ASA ），∴ AE ＝ FC . 又∵ AE ∥ CF ，∴四边形 AFCE 是平行四边形. ∵ MN 垂直平分 AC ，∴ EA ＝ EC ，∴四边形 AECF 是菱形.故①正确.②∵ MN 垂直平分 AC ，∴ FA ＝ FC . ∴∠ ACB ＝∠ FAC .∴∠ AFB ＝2∠ ACB . 故②正确. 综上所述，①②④正确，共3个.故选B. 类型二 矩形的性质与判定 在四边形 ABCD 中，已知 AC ,BD 相交于点 O ， AD ∥BC ,∠ ADC ＝∠ ABC ， OA ＝ OB . （1）如图1，求证：四边形 ABCD 为矩形； （2）如图2，点 P 是边 AD 上任意一点， PE ⊥ BD ， PF ⊥ AC ，垂足分别是 E ， F ，若 AD ＝12， AB ＝5，求 PE ＋ PF 的值. 【点拨】（1）判定矩形的关键要素：①平行四边形；②直角或对角线相等.（2）矩形问题中涉及边长的和的求值或证明问题时，一般通过全等三角形或等面积法解决.（3）关于中点的处理，主要看中点所在的“环境”，如等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点、双中点等，不同环境处理方法各不相同. 1. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝3， BC ＝6.若点 E ， F 分别在 AB ， CD 上，且 BE ＝2 AE ， DF ＝2 FC ，点 G ， H 是 AC 的三等 分点，则四边形 EHFG 的面积为 .2 2. 如图，已知▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，过点 A 作AF ⊥ CD ，垂足为 F . 延长 DC 到点 E ，使 CE ＝ DF ，连接 OE ，BE . （1）求证：四边形 ABEF 是矩形；（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ CD ， AB ＝ CD . ∵ CE ＝ DF ，∴ CE ＋ CF ＝ DF ＋ CF ，即 EF ＝ CD . ∴ AB ＝ EF . ∴四边形 ABEF 是平行四边形.又∵ AF ⊥ CD ，即∠ AFE ＝90°，∴▱ ABEF 是矩形.（2）若 AB ＝5， CF ＝2， AC ⊥ BD ，求 OE 的长. 类型三 正方形的性质与判定 （2022·邵阳）如图，在菱形 ABCD 中，已知对角线 AC ，BD 相交于点 O ，点 E ， F 在对角线 BD 上，且 BE ＝ DF ， OE ＝ OA . 求证：四边形 AECF 是正方形.证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD 且 AC ⊥ BD . 又∵ BE ＝ DF ，∴ OB － BE ＝ OD － DF ，即 OE ＝ OF . ∵ OE ＝ OA ，∴ OA ＝ OC ＝ OE ＝ OF ，且 AC ＝ EF . ∴四边形 AECF 是矩形.又∵ AC ⊥ EF ，∴四边形 AECF 是正方形.【点拨】掌握菱形的性质和正方形的判定定理是解题的关键. 1. 如图，已知点 E ， F 分别是正方形 ABCD 的边 CD ， AD 上的 点，且 CE ＝ DF . 连接 AE ， BF ，交于点 O . 下列结论：① AE ＝ BF ；② AE ⊥ BF ；③ S△ AOB ＝ S四边形 DFOE ；④ AO ＝ OE ；⑤∠ AFB ＋∠ AEC ＝180°.其中正确的有 （填序号）.①②③⑤ 2. 如图，在菱形 ABCD 中，已知点 E ， O ， F 分别为 AB ， AC ，AD 的中点，连接 CE ， CF ， OE ， OF . （1）求证：△ BCE ≌△ DCF . （2）当 AB 与 BC 满足什么关系时，四边形 AEOF 是正方形？ 请说明理由. 【点拨】翻折变换中产生的“十字架模型”，常结合勾股定理等知识，利用参数构建方程解决问题. 1. 如图，有一个边长为2的正方形 ABCD ，点 M ， N 分别是 AD ， BC 边的中点，将点 C 折叠到线段 MN 上，落在点 P 的位 置，折痕为 BQ ，则 MP 的长为 . 2. 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A 的坐标为（8，0），点 C 的 坐标为（0，4），将矩形 OABC 沿 OB 折叠，点 C 落在点 D 处， 则点 D 的坐标为 . 类型五 特殊平行四边形中的旋转问题 如图，将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG ，点 E 在 AD 上，延长 ED 交 FG 于点 H . （1）求证：△ EDC ≌△ HFE . （2）连接 BE ， CH . （2）①解：四边形 BEHC 是平行四边形.证明如下：如图，连接 BE ， CH . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ∥ BC ，即 EH ∥ BC . ∵△ EDC ≌△ HFE ，∴ EC ＝ EH . ∵将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG ，∴ EC ＝ BC . ∴ EH ＝ BC . 又∵ EH ∥ BC ，∴四边形 BEHC 是平行四边形.②【解析】要使四边形 BEHC 是菱形， ∵将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG ， ∴△ BCE 是等边三角形.∴∠ EBC ＝60°.∴∠ ABE ＝90°－∠ EBC ＝30°. 1. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转α（0°＜α＜ 90°）得到矩形 AB ' C ' D '，此时点 B '恰好在 DC 边上，连接 BB '. 若∠ B ' BC ＝15°，则α的大小为 .30° （6，4) 类型六 特殊平行四边形中的最值问题 如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB ＝8， BC ＝6，点 E 是 AD 的中点，点 F 是 AB 上一动点.将△ AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 落在点 A '处.在 EF 上任取一点 G ，连接 GC ， GA '， CA '，则△ CGA '周长的最小值为 . 【点拨】翻折就会有定点、定长，将其放入三角形中利用三角形三边长关系解决.特殊平行四边形中的最值问题一般有如下三种：（1）两定一动，动点在直线上的最值问题， 常常利用轴对称解决问题；（2）“两动点之间距离”最小值问题，可转化为“一定一动”最值问题；（3）“一定一动”最值问题的关键 是找到动点的轨迹，或者找动态过程中的不变量，利用三角形三边长关系解决. 1. 如图，已知线段 AC ＝4，线段 CB 绕点 C 旋转，且 CB ＝6，连 接 AB ，以 AB 为边作正方形 ADEB ，连接 CD ，则线段 CD 长的 最大值是 . 2. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为 （4，3），点 D 是边 OC 上的一点，点 E 在直线 OB 上，连接 DE ， CE ，则 CE ＋ DE 的最小值为 . 演示完毕 谢谢观看
