北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定背景图ppt课件

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数学 九年级上册 BS版
菱形的两个面积公式.（1）S＝ ⁠；（2）S＝ ⁠.注：在对角线互相垂直的四边形中，一条对角线将四边形分成 有公共底边的两个三角形，这两个三角形的高的和恰好是四边 形的另一条对角线的长.由三角形的面积公式可得，对角线互相 垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.
如图，两张宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边 缘的夹角α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积 为 ⁠.
【思路导航】过点 A 作 A E⊥ BC 于点E， A F⊥ C D于点F，则可 得到 A E， A F的长，再证▱ ABC D是菱形，得到 A D＝ C D，利 用30°角求得 C D的长，最后由菱形的面积公式即可求解.
【解析】如图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F ，则 AE ＝ AF ＝1.∵ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四 边形.∴▱ ABCD 的面积＝ BC · AE ＝ CD · AF . ∴ BC ＝ CD . ∴▱ ABCD 是菱形.∴ AD ＝ CD . ∵∠ ADC ＝α＝30°，∠ AFD ＝90°，∴ CD ＝ AD ＝2 AF ＝2.∴菱形 ABCD 的面积＝ CD · AF ＝2×1＝2.故答案为2.
【点拨】熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性 质、含30°角的直角三角形的性质等知识，证明四边形 ABCD 为 菱形是解决本题的关键.
如图，已知菱形 ABC D的周长为20， AC ∶ B D＝1∶2，则菱形 ABC D的面积是 ⁠.
如图，在四边形 ABC D中，已知 A D∥ BC ，点E为 BC 的中点， BC ＝2 A D，E A ＝ED＝2， AC 与ED相交于点F.
（1）当 AB 与 AC 具有什么位置关系时，四边形 A E C D是菱形？
（2）在（1）的条件下求出此时菱形 A E C D的面积.【思路导航】（1）先得到 AB ∥DE，当四边形 A E C D为菱形 时，对角线 AC ⊥DE，因此只要 AB ⊥ AC ，就可以得到菱形 A E C D；（2）利用菱形的面积公式计算即可.
解：（1）当 AB ⊥ AC 时，四边形 AECD 是菱形.理由如下：∵点 E 为 BC 的中点， BC ＝2 AD ，∴ BE ＝ EC ＝ AD . 又∵ AD ∥ BC ，∴四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形.∴ AB ∥ ED . ∵ AB ⊥ AC ，∴ DE ⊥ AC . ∴四边形 AECD 是菱形.
（2）如图，过点 A 作 AG ⊥ BE 于点 G .
由（1）知 EA ＝ AD ＝ EC ＝ BE ， AB ＝ ED .
∵ EA ＝ ED ＝2，
∴ AE ＝ BE ＝ AB ＝ EC ＝2.
∴△ ABE 是等边三角形.
∴∠ AEB ＝60°.
【点拨】掌握平行四边形和菱形的性质和判定是解决本题的关 键，在求菱形的面积时，若没有告诉对角线的长度，作底边上 的高是关键，用底乘高得到菱形的面积.
如图，在▱ ABC D中， A E⊥ BC ， A F⊥ C D，垂足分别为E， F，且 B E＝DF.
（1）求证：▱ ABC D是菱形；
（2）若 AB ＝5， AC ＝6，求四边形 ABC D的面积.
如图，在四边形 ABC D中， AC ⊥ B D于点O， A O＝ C O＝4， B O＝DO＝3，点 P 为线段 AC 上的一个动点.过点 P 分别作 PM ⊥ A D于点 M ，作 PN ⊥D C 于点 N ，连接 PB . 在点 P 运动的过程中， 求 PM ＋ PN ＋ PB 的最小值.
【思路导航】先判断出四边形 ABC D的形状，从而得到 C D， A D的长度，连接 P D，由三角形面积关系求出 PM ＋ PN 的值，则 当 PB 最短时， PM ＋ PN ＋ PB 有最小值，则当 PB ⊥ AC 时， PB 最短.
解：∵ AO ＝ CO ＝4， BO ＝ DO ＝3，
∴ AC ＝8，四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AC ⊥ BD 于点 O ，
∴▱ ABCD 是菱形，
∴ CD ＝ AD ＝5.
如图，连接 PD .
∴5×（ PM ＋ PN ）＝8×3.
∴ PM ＋ PN ＝4.8.
∴当 PB 最短时， PM ＋ PN ＋ PB 有最小值.
由垂线段最短可知，当 PB ⊥ AC 时， PB 最短.
∴当点 P 与点 O 重合时， PM ＋ PN ＋ PB 有最小值，最小值＝4.8 ＋3＝7.8.
【点拨】根据菱形的性质，知 PM ＋ PN 在点 P 的整个运动过程 中是定值，最终转化为点到直线的距离问题，运用垂线段最短 来解决.