初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定示范课ppt课件

这是一份初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定示范课ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了课前预习，互相垂直，垂直平分，轴对称图形，对角线所在的直线，中心对称图形，对角线，的交点，典例讲练，①②③等内容，欢迎下载使用。
数学 九年级上册 BS版
1. 菱形的定义.有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.
2. 菱形的性质定理.（1）菱形的四条边 ⁠；（2）菱形的对角线 ⁠；（3）菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角 线 一组对角；（4）菱形是 ，它的 ⁠是它 的对称轴；菱形也是 ，对称中心是 ⁠ ⁠.注：菱形具有一般平行四边形的所有性质.
（1）如图，在菱形 ABC D中，对角线 AC ， B D相交于点O. 下列 说法：① A D∥ BC ；②O A ＝O C ；③ AC ⊥ B D；④ AC ＝ B D. 其中正确的是 （填序号）.
【思路导航】利用菱形的性质依次判断即可.
【解析】∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AD ∥ BC ， OA ＝ OC ， AC ⊥ BD .
∴①②③的说法正确，④的说法错误.
【点拨】（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边 形的一切特征.具体特征如下：①边：对边平行且四条边相等； ②角：对角相等，邻角互补；③对角线：互相垂直，互相平 分，每一条对角线都平分一组对角；④对称性：菱形既是中心 对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是对角线的交点， 它的对称轴是对角线所在的直线.（2）菱形的周长等于边长的4 倍.（3）如果菱形的一个内角为60°，那么这个菱形的两边与较 短的对角线可构成等边三角形.
（2）菱形的两条对角线把菱形分成 个全等的 ⁠三 角形.【思路导航】设四边形 ABC D为菱形，由菱形的性质结合全等 三角形的判定方法证明△ A O B ≌△ C O B ≌△ C OD≌△ A OD， 即可得出结论.
【解析】如图，设四边形 ABCD 为菱形.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AC ⊥ BD .
∴∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ COD ＝∠ DOA ＝90°.
∴△ AOB ≌△ COB （SSS）.
同理，得△ COB ≌△ COD ，△ COD ≌△ AOD .
∴△ AOB ≌△ COB ≌△ COD ≌△ AOD .
【点拨】菱形是特殊的平行四边形，它的“特殊”主要体现在 它的“轴对称性”.
1. 下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （　C　）
2. 如图，在菱形 ABC D中，已知∠D＝130°，则∠1的度数 为 ⁠.
如图，已知四边形 ABC D是菱形，周长为20 cm ，点O是两条对 角线的交点， A O＝3 cm ，求菱形两条对角线的长.
【思路导航】由菱形对角线互相垂直平分和勾股定理可以计算 出 B O的长，继而得到对角线 B D的长.
【点拨】菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角 形，通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中 相关线段的长，再利用勾股定理计算.
如图，在菱形 ABC D中，已知点E是 AB 的中点，且DE⊥ AB 于点 E， AB ＝4 cm ，求对角线 AC 的长.
解：如答图，连接 BD ，与 AC 交于点 O .
∴ AD ＝ AB ， BD ⊥ AC ， AO ＝ CO ， DO ＝ BO .
∵点 E 是 AB 的中点，
∴ AE ＝ BE .
又∵ DE ⊥ AB ，
∴ AD ＝ BD .
∴ AD ＝ BD ＝ AB ＝4 cm .
在Rt△ AOB 中，由勾股定理，得
如图，已知菱形 ABC D的边长为6，∠ B ＝60°，点E，F分别是 边 BC ， C D上的动点（不与端点重合），且∠E A F＝60°.
（1）求证：△ A EF是等边三角形.
（2）在点E，F的运动过程中，四边形 A E C F的面积是否变 化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出四边形 A E C F的面积.
【思路导航】（1）连接 AC ，证明△ BA E≌△ CA F（ ASA ）， 推出 A E＝ A F，即可得出结论；（2）根据△ BA E≌△ CA F，将 四边形 A E C F的面积转化为△ ABC 的面积，从而计算出面积为 定值.
（1）证明：如图，连接 AC .
∴∠ D ＝∠ B ＝60°， AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD .
∴△ ABC ，△ ACD 都是等边三角形.
∴ AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ BAC ＝∠ ACD ＝∠ EAF ＝60°.
∴∠ BAE ＝∠ CAF .
∴△ BAE ≌△ CAF （ A S A ）.
∴ AE ＝ AF .
又∵∠ EAF ＝60°，
∴△ AEF 是等边三角形.
（2）解：四边形 AECF 的面积不发生变化.理由如下：由（1） 知，△ BAE ≌△ CAF ，
如图，过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H .
∵菱形 ABCD 的边长为6，∠ B ＝60°，
【点拨】（1）菱形的对角线把菱形分成两个全等的等腰三角 形.当菱形中出现60°或120°的角时，常常需要连接较短的对角线 构造等边三角形，进而利用全等三角形的性质解决问题.（2） 对于动态非特殊四边形 AECF 的面积，常常连接对角线，利用 等面积法转化为固定图形的面积求解.
已知四边形 ABC D是菱形， AB ＝4，∠ ABC ＝60°，∠ MAN 的两 边分别与射线 CB ，D C 相交于点E，F，且∠ MAN ＝60°.（1）如图1，当点E是线段 CB 的中点时，则 A E与EF之间的数 量关系为 ⁠.
（3）如图3，将图2中的∠ MAN 绕点 A 继续顺时针旋转，当α＝ 45°时，求点F到 BC 的距离.