北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定备课课件ppt

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数学 九年级上册 BS版
判定正方形的基本思路.
在四边形 ABCD 中，已知 AC 与 BD 相交于点 O ，那么下列条件 中能判定这个四边形是正方形的是（　C　）
【思路导航】根据正方形的判定定理进行分析从而得到答案.
【解析】A. 不能判定这个四边形是正方形，只能判定这个四边 形是矩形；B. 不能判定这个四边形是正方形，只能判定这个四 边形是平行四边形；C. 能判定这个四边形是正方形；D. 不能判 定这个四边形是正方形，只能判定这个四边形是菱形.故选C.
【点拨】判定一个四边形为正方形的途径有三种：①先说明它 是平行四边形，再说明有一组邻边相等，且有一个角是直角； ②先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等，或说明对角线互 相垂直；③先说明它是菱形，再说明它有一个角是直角，或说 明对角线相等.
如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下 列条件中的一个，则能使菱形 ABCD 成为正方形的是（　A　）
如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 在 AB 边上且 AD ＝ BD ，连接 CD ，点 E 是 CD 的中点，过点 C 作 CF ∥ AB ，交 AE 的延长线于点 F ，连接 BF .
（1）求证： AE ＝ EF ；（2）判断四边形 BDCF 的形状，并说明理由；（3）当∠ ABC ＝45°时，直接判断四边形 BDCF 的形状.
【思路导航】（1）由 CF ∥ AB ，得∠ DAE ＝∠ CFE ，证明△ ADE ≌△ FCE ，从而得到结论成立；（2）先证明四边形 BDCF 是平行四边形，再由直角三角形中斜边上的中线性质证明四边 形 BDCF 是菱形；（3）通过证得∠ BDC ＝90°得到问题的答案.
（2）解：四边形 BDCF 是菱形.理由如下：由（1）知，△ ADE ≌△ FCE ，∴ AD ＝ FC . ∵ AD ＝ BD ，∴ FC ＝ BD . ∵ CF ∥ BD ，∴四边形 BDCF 是平行四边形，∵∠ ACB ＝90°， AD ＝ BD ，∴ CD ＝ BD . ∴▱ BDCF 是菱形.
（3）解：四边形 BDCF 是正方形.由（2）知， CD ＝ BD ，且∠ ABC ＝45°，∴∠ DCB ＝∠ DBC ＝45°.∴∠ BDC ＝90°.又∵四边形 BDCF 是菱形，∴菱形 BDCF 是正方形.
【点拨】正方形的判定思路通常有三个途径：（1）从定义去判 定，先证明平行四边形，再证明一组邻边相等和一个角是直 角；（2）先证明矩形，再证明一组邻边相等或对角线互相垂 直；（3）先证明菱形，再证明一个角是直角或对角线相等.另 外还要灵活运用全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质 和等腰三角形的性质等.
如图，在△ ABC 中，已知 BD 是△ ABC 的角平分线，过点 D 作 DE ∥ BC 交 AB 于点 E ， DF ∥ AB 交 BC 于点 F .
（1）求证：四边形 BEDF 是菱形；
（1）证明：∵ DE ∥ BC ， DF ∥ AB ，∴四边形 BEDF 是平行四边形，∠ EDB ＝∠ DBF . ∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ EBD ＝∠ DBF . ∴∠ EBD ＝∠ EDB . ∴ EB ＝ ED . ∴▱ BEDF 是菱形.
（2）若 AB ＝ BC 且 AC ＝2 BD ，试判断四边形 BEDF 的形状并 说明理由.
∵∠ BAC ＋∠ ABD ＋∠ BCA ＋∠ CBD ＝180°，即2∠ ABD ＋2∠ CBD ＝180°.∴∠ ABD ＋∠ CBD ＝90°，即∠ ABC ＝90°.∴菱形 BEDF 是正方形.
如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ BC ，∠ ABC ＝90°，点 D 为边 BC 的中点，在 AC 上取一点 E ，使得∠ EDC ＝∠ ADB ，连接 BE 交 AD 于点 O . 求证： BE ⊥ AD .
【思路导航】根据点 D 为边 BC 的中点及∠ EDC ＝∠ ADB 可作 FC ⊥ BC ，构建△ ABD ≌△ FCD ，从而得到四边形 ABCF 为正 方形.再根据△ ABD ≌△ FCD 得到∠ CBE ＋∠ ADB ＝90°，从而 证得结论.
证明：如图，过点 C 作 BC 的垂线交 DE 的延长线于点 F ，连接 AF .
∵点 D 为边 BC 的中点，
∴ BD ＝ CD .
又∵∠ EDC ＝∠ ADB ，∠ ABD ＝∠ FCD ＝90°，
∴△ ABD ≌△ FCD （ASA）.
∴ AB ＝ FC .
∵∠ ABD ＝∠ FCD ＝90°，
∴∠ ABC ＋∠ FCD ＝180°.
∴ AB ∥ CF .
∴四边形 ABCF 是平行四边形.
又∵∠ FCB ＝90°，
∴▱ ABCF 是矩形.
又∵ AB ＝ BC ，
∴矩形 ABCF 是正方形.
∴ BC ＝ CF ，∠ ACB ＝∠ ACF ＝45°.
又∵ EC ＝ EC ，
∴△ BCE ≌△ FCE （SAS）.
∴∠ CFE ＝∠ CBE .
又∵△ ABD ≌△ FCD ，
∴∠ BAD ＝∠ CFD . ∴∠ BAD ＝∠ CBE .
∵∠ BAD ＋∠ ADB ＝90°，
∴∠ CBE ＋∠ ADB ＝90°.
∴∠ BOD ＝90°.
∴ BE ⊥ AD .
【点拨】解决本题的关键是构建正方形 ABCF .
如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AD 的中点.过点 A 作 AF ∥ BC 交 BE 的延长线于点 F ，连接 CF .
（1）求证：△ AEF ≌△ DEB ；
（2）当△ ABC 满足什么条件时，四边形 ADCF 是正方形？请说 明理由.
（2）解：当 AB ＝ AC 时，四边形 ADCF 是 正方形.理由如下：由（1）知，△ AEF ≌△ DEB ，∴ AF ＝ DB . ∵点 D 是 BC 的中点，∴ DB ＝ DC . ∴ AF ＝ DC . 又∵ AF ∥ BC ，