[数学][期末]安徽省蚌埠市2022-2023学年高二下学期期末学业水平监测试题(解析版)

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，则，而，
所以.
故选：C
2. 若函数的定义域为，则“”是“是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：当时，显然，但在上单调递减，在上单调递增，
故“”是“是增函数”的非充分条件；
必要性：由是增函数，且，则，
故“”是“是增函数”的必要条件；
故选：B.
3. 已知随机变量分布列为，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，则，解得，
.
故选：A.
4. 已知函数，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，，故，因此的定义域为，因此AB错误，当时，，故C错误，因此选D.
故选：D.
5. 某产品在出厂时每5个一等品装成一箱，工人不小心把2件二等品和3件一等品装入了一箱，为找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐一取出检验，取出的产品不放回，则“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设事件“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”为,
该事件的发生有三步，最后一次必取二等品，前两次有一次取二等品且相互独立，
故选：C.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】构造函数，其中，
因为函数、在上为减函数，故函数为上减函数，
因为，，
且，所以，，
又因为，，因此，.
故选：A.
7. 把4个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，则恰有1个空盒子的放法种数为（ ）
A. 24种B. 42种C. 60种D. 144种
【答案】B
【解析】将4个不同的小球分为2组，分组方案为或，
则恰有1个空盒子的放法种数为，
故选：B.
8. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数为X1，第二枚骰子掷出的点数为，设事件，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，随机变量的所有可能取值有，共种；同理可得共种，
事件的个数，
符合事件的情况有，个数，
.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由，则，
对于A，由，即，，故A错误；
对于B，易知，故B正确；
对于C，，由，，则，故C正确；
对于D，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故D正确.故选：BCD.
10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 各项的二项式系数和为32B. 含项的系数为80
C. 常数项为D. 各项的系数和为
【答案】ABD
【解析】对于选项A：各项的二项式系数和为，故A正确；
对于选项D：令，可得各项的系数和为，故D正确；
对于选项B、C：的展开式的通项公式为，
令，解得，可得，
所以含项的系数为80，故B正确；
令，解得，不是整数，
所以展开式中没有常数项，故C错误；故选：ABD.
11. 已知变量x，y经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其线性回归方程为，下列说法正确的是（ ）
A. 若相关系数的值越大，则成对样本数据的线性相关程度超强
B. 若相关系数，说明变量x，y线性相关程度较弱
C. 相关指数的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好
D. 残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
【答案】BC
【解析】对于A，相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度超强，故A错误；
对于B，由相关系数，，则变量线性相关程度较弱，故B正确；
对于C，相关指数的值越接近于，则线性回归方程拟合效果越好，故C正确；
对于D，残差平方和越小，表示线性回归方程拟合效果越好，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则是增函数
B. 若，则方程的解为和
C. 若 ，则 的值域为
D. 若有最大值，则实数的取值范围是
【答案】AD
【解析】对于A，由，则，
由，则单调递增；由，则单调递增.
当时，，，由，则是增函数.故A正确；
对于B，由，则，
由，则，解得（舍去）；，
解得（舍去）.故B错误；
对于C，由，则，
由，则函数单调递增，即；
由，则函数单调递增，即，
故的值域为.故C错误；
对于D，当时，则上单调递增，在上单调递减，即有可能存在最大值.
当时，易知，当时，，
当，解得，函数的最大值为，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分．
13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】由函数，
则，，
则曲线在处的切线斜率，
故切线方程为，化简可得：.
故答案为：.
14. 现用5种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法种数为______（用数学作答）．

【答案】180
【解析】如下图标号：

①号的涂色方案有5种，由题意：②号涂色方案有4种，③号涂色方案有3种，④号涂色方案有3种，
故不同的涂色方案有.
故答案为：.
15. 语文老师抽查小明古文背诵的情况，已知要求背诵的15篇古文中．小明有2篇不会背诵．若老师从这15篇古文中随机抽取3篇检查，记抽取的3篇古文中，小明会背诵的篇数为，则_____；_____．
【答案】① ②
【解析】由题意，离散型随机变量的所有可能取值为，
，，，
，
.
故答案为：；.
16. 已知函数，，若函数存在零点2023，则函数一定存在零点，且_____．（只写一个即可）
【答案】
【解析】存在零点2023，
是方程的根，即，
所以.
由，得,
得，
即一定是方程的一个根，
也就是函数一定存在零点，且.
故答案为：.
四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．
17. 已知，，，计算：
（1）；
（2）．
解：（1）由，得．
（2）因为，，
所以，，
∴
.
18. 已知函数在区间上的最小值为，最大值为．
（1）求，的值；
（2）设，求的值域．
解：（1）因为图象开口向上，对称轴，
故函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，
当时，函数取最大值，
所以，．
（2）由（1）得，则，
易知，
当或，，当或，，
即在，单调递增，在，单调递减．
又，，且当时，
当时，
故的值域为．
19. 脂肪含量（单位：）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某研究机构对某项健身活动参与人群的脂肪含量进行调查研究，假设该项健身活动全体参与者的脂肪含量X～N（17，23）．若脂肪含量超过为“偏胖”．
（1）现从该项健身活动全体参与者中随机抽取20位，记这20人中偏胖的人数为Y，求Y的数学期望；
（2）根据样本数据（如下表所示），
依据的独立性检验，能否认为该项健身活动参与者“偏胖”与性别有关？
参考数据：若，则，，，，，．
解：（1）由题意可知，，
故该项健身活动参与者“偏胖”的概率为，
易知，故（人）；
（2）假设：该项健身活动参与者“偏胖”与性别无关联，补充列联表如下：
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以认为该项健身活动参与者“偏胖”与性别无关．
20. 已知函数在定义域内是奇函数
（1）求实数c的值；
（2）求函数f（x）的极小值（用b表示）
解：（1）由奇函数的定义知
，所以．
（2）定义域为，
当，在上恒成立，即为增函数，无极小值；
当，的解为，
单调递减；
的解为或单调递增；
极小值为；
综上所述，当无极小值；
当，极小值为．
21. 某农科所对大棚内的昼夜温差与某种子发芽率之间的关系进行分析研究，观测2023年4月1日至4月11日大棚内的昼夜温差与每天每100粒种子的发芽数，收集了11组数据列于下表中：
已知种子发芽数y（单位：粒）与昼夜温差x（单位：℃）之间线性相关，该农科所确定的研究方案是：先从这11组数据中选取1组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用先选取的1组数据进行检验．
（1）若选取的是4月2日的数据，试根据除这一天之外的其他数据，求出y关于x的线性回归方程（精确到1）；
（2）若由线性回归方程得到的种子发芽数的估计数据与所选取的检验数据的误差不超过2粒，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所求得的线性回归方程是否可靠．
参考数据：，，，；；．
解：（1）由题设10组数据得，；；，
，
将点即代入
关于的线性回归方程为
（2）当，，
此时，
所以可以认为求得的线性回归方程是可靠的．
22. 已知函数．
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）当时，若存在满足，证明．
解：（1）当，在单调递减；
当时，，
①当时，，，，；
②当时，在恒成立；
③当时，，，，；
综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）由，得，
即，
由（1）可知，当时，，，
当时，；当时，，
在单调递增，在单调递减，
又当，，当时，，
故，即．欲证，即证．
设，，
则，
即在单调递减，
又，所以，即，
又，所以，
又因为在单调递增，，，所以，即得证．偏胖
不偏胖
男性
10
110
女性
10
90
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
偏胖
不偏胖
合计
男性
10
110
120
女性
10
90
100
合计
20
200
220
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
11日
温差x/℃
11
10
8
13
12
10
11
9
12
13
9
发芽数y/粒
24
22
15
30
28
18
22
18
27
28
17