[数学][期中]福建省福州市闽江口协作体2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学][期中]福建省福州市闽江口协作体2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：必修第一册第一、二、三章，选择性必修三第六章、第七章7.1-7.3．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
，
.
故选：C.
2. 小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（ ）
A. 8种B. 12种C. 16种D. 18种
【答案】C
【解析】∵小五和小明两人从4门课程中各选修1门，
∴由乘法原理可得小五、小明所选的课程的选法有4×4=16（种）．
故选:C
3. 下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A. 某电子元件的寿命
B. 高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C. 某人早晨在车站等出租车的时间
D. 测量某零件的长度产生的测量误差
【答案】B
【解析】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；
一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；
测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量．
故选：B．
4. 已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设三角形的两条直角边长为、，可得，
三角形周长为，
当且仅当时取等号．
故选：C
5. 已知函数在上的值域为，则在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数在上值域为，
令，所以在上的取值范围为，
又是奇函数，所以在上的值域为，
所以在上的值域为．
故选:B．
6. 已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若，则的常数项为；
若的二项展开式中存在常数项，
设二项式的通项为，
且存在常数项，则，，为整数，
所以能被4整除.
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 随机变量的分布列如下，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得解得
．
故选:C．
8. 将编号为1，2，3，4，5，6的小球放入编号为1，2，3，4，5，6的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有3个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题得任意放球共有种方法，如果有3个小球与所在的盒子的编号相同，
第一步：先从6个小球里选3个编号与所在的盒子相同，有种选法；
第二步：不妨设编号相同的小球选的是1、2、3号球，
编号为4，5，6小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种，
所以有3个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法．
由古典概型的概率公式得恰有3个小球与所在盒子编号相同的概率为，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A. 偶数项的二项式系数之和为32B. 第3项的二项式系数最大
C. 常数项为60D. 有理项的个数为3
【答案】AC
【解析】偶数项的二项式系数之和为，故A正确；
根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误
，
令，，
∴，故C正确；
为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误.
故选：AC．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知是奇函数，则有
B. 函数的单调减区间是
C. 定义在上的函数，若，则不是偶函数
D. 已知在上是增函数，若，则有
【答案】CD
【解析】奇函数不一定过，故A错误；
，所以函数的单调减区间是，，故B错误；
如果是定义在上的偶函数，则，因为，
∴不是偶函数，故C正确；
在上是增函数，若，即，，
所以，，所以，
即，故D正确．
故选：CD．
11. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，所以，A正确；
因为，，所以，B错误；
因此，，C正确；
从而．D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ，等6人排成一列，则在的前面的排法种数是________种．（用数字作答）
【答案】360
【解析】依题意在的前面的排法有种．故答案为：
13. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】当时，，故在上单调递增．
函数在处连续，又是定义域为的奇函数，
故在上单调递增．
因，由f3+m+f3m-7>0，可得f3+m>f7-3m，
又因为在上单调递增，所以，解得．
故答案为：.
14. 已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由于，，
则不等式的解为，
由于恰有3个解，其中，于是3个解为，
则要求，解出，
综上，．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：
（1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）3名女教师互不相邻坐法有多少种？
解：（1）根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法，
将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法，
由分步乘法计数原理，共有24×24=576种坐法．
（2）根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法，
再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法，
由分步乘法计数原理，共有60×24=1440种坐法．
16. （1）已知，求值：；
（2）解方程：．
解：（1）∵，∴，解得或（舍），
因为，所以，
原式；
（2）因为，
所以，
化简可得，同时，
解得．
17. 已知在二项式的展开式中，第三项的系数是第二项的系数的倍．
（1）求正整数的值；
（2）若展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，求的值；
（3）求系数最大的项．
解：（1）由题意得，二项式的展开式的通项为
，，
第三项的系数是，第二项的系数是
又由第三项的系数是第二项的系数的倍，有，解得；
（2）对于二项式，令，
即得展开式中各项系数之和为，可得，
展开式的二项式系数之和为，可得，
可得；
（3）展开式的通项为，，
则
整理得，即
而，∴，所以系数最大的项为．
18. 已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，．
（1）求的值；
（2）试判断的单调性，并证明；
（3）若，求的取值范围．
解：（1）令，得，解得；
（2）在上单调递减，证明如下：
不妨设，
所以
，
又，所以，所以，所以，
即，
所以在上单调递减；
（3）由（2）知在上单调递减，
若，即，
所以
解得或，即的取值范围是．
19. 已知不透明的袋子中装有7个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，5个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个．
（1）求前两次取出的球颜色相同的概率；
（2）当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量，求的分布列以及数学期望．
解：（1）设事件A为“前两次取出的球颜色相同”，
设事件B为“第一次取黑球，第二次取黑球”，则，
事件C为“第一次取白球，第二次取白球”，则，
因为事件B与C互斥，
所以，
所以前两次取出的球颜色相同的概率为；
（2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，7，
，，
，，
，，
所以的分布列为
所以.0
1
2
2
3
4
5
6
7