[数学][期末]江西省景德镇市2023-2024学年高一下学期期末质量检测试题(解析版)

这是一份[数学][期末]江西省景德镇市2023-2024学年高一下学期期末质量检测试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得，
当时，，不符合题意，舍去；所以，即，
所以复数的虚部为4.
故选：C.
2. 已知向量，，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
3. 已知是第三象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是第三象限角，且，
所以，所以.
故选：B.
4. 月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：）
A. 572m2B. 1448m2C. m2D. 2028m2
【答案】D
【解析】设的外接圆的半径为，则，得，
因为月牙内弧所对的圆心角为，
所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为，
以为直径的半圆的面积为，
所以该月牙泉的面积为.
故选：D.
5. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为四边形为平行四边形，对角线与交于点，且，
所以，
所以.
故选：C.
6. 已知为钝角，为锐角，且，，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为钝角，为锐角，且，，
所以，，
则，
又为钝角，为锐角，所以为锐角，
所以.
故选：A.
7. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
8. 已知，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，所以，
因为，所以，所以，
又，所以，且，
所以，且，
因为，所以，又，所以，
所以，
又，所以，
因为，所以，所以，
所以.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数是的共轭复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】因为
所以，，故A错误，D正确；
，故B正确；
，故C错误.
故选：BD.
10. 已知，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 与可以作为一组基底向量
C. D. 在方向上的投影向量的坐标为
【答案】BC
【解析】对于A，，即与不垂直，
故A错误；
对于B，因不共线，故与可以作为一组基底向量，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，在方向上的投影向量为，故D错误.
故选：BC.
11. 已知，均为锐角，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，若，由得，
，
即，
又为锐角，所以，故A正确；
对于B选项，若，则，
由得，，
所以，故B错误；
对于D选项，由，得
，
令，则，两边平方得：
，
由判别式法可得，解得，即，
又为锐角，所以的最小值为，当时，取最小值，故D正确；
对于C选项，由D选项可知，，而，所以 ，故C正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知，，若与共线，则_________.
【答案】2
【解析】因为与共线，所以 ，即，
所以，
所以.
故答案为：2.
13. 已知，，则____________.
【答案】
【解析】因为，则，
显然，可得，
整理得，解得或，
又因为，则，可得，
所以.
故答案为：.
14. 在中，，，，为边上两点，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】如图所示，以的中点为原点，为轴，射线为非负轴建立平面直角坐标系，
则，，，设，
不妨假设D在E的左侧，则由知，，
据此有：，，则，
因为，
所以，所以，
所以，所以，
令，
则，
当且仅当即时，等号成立，
故的的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.
解：（1）因为，
所以，
所以.
（2）复数的共轭复数，
复数是关于的方程的一个根，
所以也是方程的一个根，
所以由韦达定理可得，.
16. 已知向量.
（1）若，求实数的值以及在方向上的投影数量；
（2）若对有恒成立，求实数取值范围.
解：（1）因，则，解得；
则，于是，在方向上投影数量为.
（2）依题意，在R上恒成立，
因，故有，解得或，
即实数取值范围为：.
17. 函数，函数的最小正周期为.
（1）求函数的递增区间，对称轴以及对称中心；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
解：（1）
，
因为函数的最小正周期为，所以，即，
所以，
令，
解得，
所以的递增区间为，
令，解得，
所以的对称轴为，
令，解得，
所以的对称中心为.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则
，
再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
得到函数的图象，则
，
因为，所以，
所以，所以，
即函数在区间上的值域为.
18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；②；③，在中，内角，，的对边分别是，，，若 .
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围.
解：（1）选择①，，由正弦定理，
，即，
由余弦定理，，因，故.
选择②，，因，
则得，，整理得，，
因，，故得，因，故.
选择③，由可得，，
由正弦定理，，
因，，故得，，因，故.
（2）由正弦定理，，
可得，
于是的周长为：
，因，，
则，故，即周长的取值范围为.
19. 在中，已知.
（1）求；
（2）设，点为外接圆上的一个动点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，且，求的周长.
解：（1）因为，
所以，
又因为在中，，
所以，又，所以.
（2）如图所示，以AB中点D为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，
则圆心在y轴上，不妨设，则，
由正弦定理可得，外接圆半径，
由，得，解得，
所以，所以外接圆方程为，
（ⅰ）设，则，
所以，
又因为点在外接圆上，所以，即，
所以，
又，所以，
所以.
（ⅰⅰ）因为点C在外接圆上，所以设，则
，
所以
，
所以，
又因为，所以，所以，
即，经检验符合题意，所以为等边三角形，
所以的周长为.