[数学]河南省信阳市名校2024届高三下学期全真模拟考试试题(解析版)

这是一份[数学]河南省信阳市名校2024届高三下学期全真模拟考试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
所以.
故选：D
2. 若非空集合，，，满足：，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以依据交集概念可知，故A错，
又因为，所以且，
所以，即，故B正确，
所以，故C、D错.
故选：B.
3. 已知命题 “”，则为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】存在量词命题：的否定是：.
故选：C
4. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，由，
得，
所以向量在上的投影向量为.
故选：D
5. 抛物线上的点到焦点的距离为（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】由条件可知，，则，所以，
所以点到焦点的距离.
故选：A
6. 若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
故选：B
7. 已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果
【详解】设原来4个数据依次为a、b、c、d，则，
由方差为3，所以，
即，
所以，
则，
现加入数据8和10，则则其平均数，
则这6个数据的方差为
故选：B.
8. 若，则（ ）
A. 180B. C. D. 90
【答案】A
【解析】因，其二项展开式的通项为：
，
而是的系数，故只需取，得，
即.故选：A.
二、选择题
9. 设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率
B.
C. 面积的最大值为12
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，由椭圆方程得，所以，
所以离心率为，故A对；
对于B，由椭圆定义可知，故B错；
对于C，由椭圆图形结构特征及性质可知当P位于椭圆上顶点或下顶点时，
面积取得最大，最大值为，故C对；
对于D，由椭圆性质可知，所以的最小值为2，故D错.
故选：AC.
10. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由，，成等差数列，得.
设的公比为，则，解得或（舍去），
所以，解得.
所以数列的通项公式为，
，
故选：AC.
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6
B. 已知随机变量，若，则
C. 对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立
D. 已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120
【答案】BC
【解析】对于A，由于，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为，故A错误；
对于B，由于，则，故B正确；
对于C，若，根据条件概率公式则有，
变形可得，则与相互独立，故C正确；
对于D，分层抽样的平均数，
按分层抽样样本方差的计算公式，
，故D错误.
故选：BC
三、填空题
12. 某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为______.
【答案】3
【解析】近似服从正态分布，，
故，解得.
故答案为：3
13. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________.
【答案】3
【解析】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ，
设母线长，高为.
则，解得.
如图所示圆台的轴截面，
在中，，
由勾股定理得：圆台的高.故答案为：3.
14. 已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则______.
【答案】
【解析】记检测次数为，则
当时，检测的两件产品均为正品或为次品，则，
当时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论正品还是次品，
都能确定所有次品，
则，
所以，
故答案为：
四、解答题
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，是的中点，，求边．
解：（1）因为，
由正弦定理得：，
因为，代入上式得，
，
即，即
因为中，，所以，即，
又因为中，，所以；
（2）依题意，中，，，
利用余弦定理可得，，即，解得，
中，，，故是等边三角形，故.
16. 某手机APP公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款APP人数的满意度统计数据如下：
（1）求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款APP不满意人数；
（2）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款APP与性别的关系，得到下表：
根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款APP与性别有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，
解：（1）由表中的数据可知，，
，
，，
不满意人数与月份之间的回归直线方程为，
当时，
预测该小区10月份对这款APP不满意人数为37；
（2）提出假设：是否使用这款APP与性别无关，
由表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否使用这款APP与性别有关，此推断的错误概率不大于
17. 如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.

（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
（1）证明：在三棱柱中，，
则，
由，得，在中，，
由余弦定理，得，，
于是，由平面平面，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以，
（2）解：由（1）知，两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
则，
于是，
设为平面的一个法向量，
则，取，得，显然为平面的一个法向量，
因此，显然二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.

18. 设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.
所以，椭圆方程为.
（2）由题意，设.
设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
19. 已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”.
（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；
（3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由.
解：（1）已知，则，得，
故函数经过点的切线方程为，
其与函数图像无其他交点，
所以原点不存在“上位点”.
（2）设点的横坐标为，为正整数，
则函数图像在点处的切线方程为，
代入其“上位点”，得，
化简得，
即，
故，
因为，得（*），
又点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为.
（3）将代入，解得，
由（*）得，.
即，又，
故是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，即，.
令，则严格减，
因为，所以函数在区间上严格增.
当时，，于是当时，严格减，符合要求
当时，.
因为时，
所以当时，，
从而当时严格增，不存在正整数，
使得无穷数列，，…，严格减.
综上，.月份
1
2
3
4
5
不满意的人数
120
105
100
95
80
使用APP
不使用APP
女性
48
12
男性
22
18
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828