[数学][期末]上海市黄浦区2023_2024学年高一下学期期末考试试卷(解析版)

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1. 若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为___________．
【答案】
【解析】扇形弧长.
故答案为：.
2. 已知向量，设，向量，若，则___________．
【答案】1
【解析】由，且可得，
解得.
故答案：1.
3. 若，则___________．
【答案】
【解析】，
则.
故答案为：.
4. 在梯形中，，设，若用的线性组合表示，则___________．
【答案】
【解析】，
则，
则.
故答案为：.
5. 若，则___________．
【答案】
【解析】由，两边平方后得，
即，则.
故答案为：.
6. 若向量，则___________．
【答案】
【解析】由可得，且；
所以，又，
可得.
故答案为：.
7. 设，若函数的.定义域为，则的值为___________．
【答案】
【解析】由题意可知，，，
所以.
故答案为：.
8. 某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为___________．（结果精确到）
【答案】14.6
【解析】由题意可得，，，，则，
在中，由正弦定理可得，
即，
所以.
故答案为：14.6.
9. 若，则___________．
【答案】3
【解析】.
故答案为：3.
10. 已知点，将绕原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为______
【答案】
【解析】设，则
，，
将绕原点逆时针旋转至，则的倾斜角为，
则，
∴点的纵坐标为.
故答案为：.
11. i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】设，则，整理为，
所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面，
，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图，
的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以.
故答案为：.
12. 已知平面非零向量的模均为，若，则___________．
【答案】2
【解析】设，，，，
其中，
因为，则；因为，则，
则，又因为，
当时，，
即，即，
因为，则或0，则，
显然当时，，无实数解；
当时，，则或（舍去），
当时，，
即，即，
因为，则或，则，
显然当时，，无实数解；
当时，，则或（舍去），
综上所述：.
故答案为：2.
二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，
则，
即，得，.
故选：A.
14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，，，
因为函数是定义在上的偶函数，所以.
故选：B.
15. 若对任意实数x都有，则角的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，
，
因为，所以角的终边在第四象限.
故选：D.
16. 设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设的值域为，的值域为，
则由题意得，因为，则，
则，则，
因为，所以，
对A，当时，，则，
则，不满足，故A错误；
对B，当时，，，
则，则，满足，故B正确；
对C，当时，，，
则，则，
不满足，故C错误；
对D，当时，，则，
则，不满足，故D错误；
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．
17. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求．
解：，
设，则，
∵，∴.
18. 已知，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）由，且，
可得；
由二倍角公式可得；
；
所以.
（2）由（1）可得，
所以.
19. （1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标．
（2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？
解：（1）由题意得，
故，解得；
故点P的坐标为.
（2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，
直线，即，
设直线，
将点代入中，得
，解得，
故直线，
联立，解得，
故当机器狗在时，离小明最近.
20. 在中，已知边上的中线长为．
（1）求证：；
（2）若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角．
解：（1）因为，
则，
则在和利用余弦定理得，
化简得.
（2）由（1）知①，
同理可得②，③，
①②③得④，
则m、n、t满足④式，
④①得，
同理可得，，
因为，则，
则，则，
，则，
则，则，根据大边对大角，则为钝角.
21. 设．
（1）当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数．
（2）①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数；
②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围．
解：（1）设，
，
，
，
因为，所以，
且，所以，所以，
则，
所以，
即，所以，
所以函数在区间上是严格增函数.
（2）①，则，
当时，即，，，
所以不管为何值，和是函数的零点，
当，即或时，，
如图画出函数的图象，
若或时，与无交点，没有零点，
若或时，与有1个交点，为和，需舍去，
所以没有零点，
当或时，与有2个交点，
当时，与有3个交点，
综上可知，或时，有2个零点，
当或时，有4个零点，
当时，有个5零点.
②由①可知，时，最多有5个零点，
时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点，
当时，与在区间有4个交点，如图，
当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点，
所以的最小值为3，此时.