[数学][期末]上海市宝山区2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测试卷(解析版)

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1. 已知集合，，则______．
【答案】
【解析】由，可得、，则.
故答案为：.
2. 函数的最小正周期为______．
【答案】
【解析】由正切型函数性质可知.
故答案为：.
3. 若指数函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意，函数是上的单调增函数，
根据指数函数的图象与性质，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
4. 已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为______．
【答案】
【解析】设该扇形半径为，弧长为，圆心角为，面积为，
则，即，即，
又，则.
故答案为：.
5. 若，则的值为______．
【答案】125
【解析】由题意知，，则，
所以，
解得.
故答案为：125.
6. 向量，能组成平面向量的一个基，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意可得，不共线，故有，即，
故实数的取值范围是.
故答案：.
7. 已知中，，，，则在方向上的数量投影为______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
8. 若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为______．
【答案】1
【解析】由题意得，，
所以，即，
当且仅当时，等号成立，
令，则，方程，
，所以是方程的根，
所以.
故答案为：1.
9. 已知，，，则______．
【答案】
【解析】由，，，则，
则，，
.
故答案为：.
10. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】观察在上的图象，
当时，或，
当时，，
所以的最小值为：，
的最大值为：，
所以的取值范围为.
故答案为：.
11. 若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“阶依赖函数”．已知函数是上的“阶依赖函数”，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意可得，对于任意，存在使得，
即，则，即.
故答案为：.
12. 中，，当时，的最小值为，则______．
【答案】
【解析】令，则，
又，则点在线段上，
取上靠近点的三等分点，连接，则，
则，
令点关于的对称点为，则，
即有，设，则在中，
有，
即，即，
又，则，
则有，
即，即.
故答案为：.
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．
13. 已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由三角函数定义可得，解得.
故选：C.
14. 设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 既非充分又非必要
【答案】A
【解析】若在上为严格增函数，
由奇函数性质可得在上为严格增函数，
则在上最小值为，
若在上的最小值为，
不能得到在上为严格增函数，
即不能得到在上为严格增函数，
故“在上为严格增函数”是“在上最小值为”的充分非必要条件.
故选：A.
15. 如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知与互为“共胚复数”，其中，，为虚数单位，则的值为（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】D
【解析】，则有，则.
故选：D.
16. 已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由在上单调递减，y＝lg2x在上单调递增，
所以，在定义域上是单调减函数，
当时，，
又因为，，
所以，当都为负值，则都大于，
当，则都小于，大于，
综合可得，不可能成立．
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知幂函数的图像经过点．
（1）求此幂函数的表达式和定义域；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）设，则有，解得，
故，即，则其定义域为.
（2）由，则在上单调递减，
故有，即，即.
18. 已知坐标平面内，向量，，．
（1）求满足的实数、；
（2）若向量满足，且，求的坐标．
解：（1）由，则有，解得，即，.
（2）设，则有，解得或，
故或.
19. 锐角中角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，又，则.
（2）由，则、，
则
，
由为锐角三角形，可得，解得，
则，则，
故.
20. 已知函数的部分图像如图所示：
（1）求函数的表达式；
（2）当时，求方程的所有根的和．
解：（1）由函数的图象，可得，可得，所以，
因为，即，
可得，即，
又因为，可得，所以.
（2）由，可得或，
因为，可得，
当时，，设方程的解为，
则，可得；
当时，，则，可得，
综上所述，方程的所有根的和为.
21. 已知集合（其中是虚数单位），定义：，.
（1）计算的值；
（2）记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、；
（3）若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，．
解：（1）.
（2）设，
由，得，
所以
，
当，时等号成立，所以的最大值为4，
符合题意的一组解：.
（3）由条件可知，
所以，设，
当时，和是单调递增函数，
则在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点，
当时，是单调递增函数，
得，先增后减，且，
因此，即在上没有零点，
当时，是单调递增函数，
则，而，
因此，即在上没有零点，
综上，当时，必存在唯一的零点，
当时，，
且得，
所以，其中，
此时是单调递增函数，所以，
从而，
所以当时，.