湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题，共9页。试卷主要包含了若f，已知a＞1，b＞1，已知定义在等内容，欢迎下载使用。

1．集合M＝{x∈N|0＜x＜3}的子集的个数是（ ）
A．16B．8C．7D．4
2．若a∈N，且502024+a能被17整除，则a的最小值为（ ）
A．0B．1C．15D．16
3．若f（x+1）＝x，且f（x）＝5，则x＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）种．
A．144B．72C．64D．36
5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s（m）与时间t（s）之间的函数关系式为s＝sin2t+t，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A．（1+2cs4）m/sB．2cs4m/s
C．（2+cs4）m/sD．cs4m/s
6．已知a＞1，b＞1．设p：ab＝ba，q：aeb＝bea，则p是q的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分又不必要
7．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过xmin后茶水的温度为y℃，且y＝k•0.9227x+25（x≥0，k∈R）．当茶水温度降至60℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95，ln0.9227≈﹣0.08）
A．6minB．7minC．8minD．9min
8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），g（x），其导函数分别为f′（x），g′（x），且，则必有（ ）
A．2g（1）+2f（2）＞g（2）+2f（1）
B．2g（1）+2f（2）＜g（2）+2f（1）
C．4f（2）+2g（1）＞g（2）+4f（1）
D．4f（2）+2g（1）＜g（2）+4f（1）
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知﹣1＜a＜6，3＜b＜8，则下列结果正确的有（ ）
A．B．2＜a+b＜14C．﹣4＜a﹣b＜﹣2D．﹣3＜ab＜48
10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件A：x+y为偶数，B：xy为偶数，C：x＞2，则（ ）
A．B．A与B相互独立
C．A与C相互独立D．B与C相互独立
11．函数f（x）＝[x]称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）＝[x]为偶函数
B．函数y＝x﹣[x]（x∈R）的值域为[0，1）
C．若[x]＝2，则的最小值为
D．不等式[x]2﹣[x]≤2的解集为{x|﹣1≤x＜3}
12．在探究（a+b）n的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将（1+x+x2）n的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用表示，即（1+x+x2）n展开式中xm的系数为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知函数，则＝ ．
14．已知，则2a1+3a2+4a3+…+2025a2024＝ ．
15．设函数f（x）是定义域为R的奇函数，且∀x∈R，都有f（x）﹣f（2﹣x）＝0．当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx+2x﹣1，则函数f（x）在区间上有 个零点．
16．已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题，共70分）
17．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|lgx＜1}．（12分）
（1）求（∁RA）∪B；
（2）设集合C＝{x|a﹣1＜x＜2a﹣3}，若A∪C＝A，求实数a的取值范围．
18．为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．（16分）
（1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X～N（10，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|≤2σ）≈0.9545，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9973，0.9772510≈0.7944，0.954510≈0.6277．
19．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园．图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2．（12分）
（1）用含有x的代数式表示a，并写出x的取值范围；
（2）当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
20．甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为．记甲乙两人的答题总次数为n（n≥2）．（15分）
（1）求p；
（2）当n＝2时，求甲得分X的分布列及数学期望；
（3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为Pn（A）．
证明：．
21．已知函数．（15分）
（1）当a＝0时，求函数f（x）极值；
（2）讨论f（x）在区间[1，e]上单调性；
（3）若恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1_5:DDADA 6-8:BBA
二．多选题（共4小题）
9：AB．
10：ACD．
11：BCD．
12：BCD．
三．填空题（共4小题）
13：8．
14：4048．
15：6．
16：．
四．解答题（共5小题）
17．解：因为A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|lgx＜1}＝{x|0＜x＜10}．
（1）所以∁RA＝{x|﹣2≤x≤3}，
故（∁RA）∪B＝{x|﹣2≤x＜10}；
（2）集合C＝{x|a﹣1＜x＜2a﹣3}，
若A∪C＝A，则C⊆A，
当C＝∅时，a﹣1≤2a﹣3，即a≥2，
当C≠∅时，，解得a，
故实数a的取值范围为{a|a或a≥2}．
18解：（1）由题知，ξ的可能取值为0，1，2，ξ～H（3，2，10）．
则，，，
所以ξ的分布列为：
所以，数学期望．
（2）由题意可知，η服从二项分布，
故，
技术攻坚成功的概率为：
，
．
（3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A，
因为X～H（10，0.04），所以μ＝10，σ＝0.2，
所以，
所以P（X≤10.4）≈1﹣0.02275＝0.97725，
所以P（A）＝1﹣0.9772510≈1﹣0.7944＝0.2056．
从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056．
19．解：（1）设矩形花园的长为ym，
因为矩形花园的总面积为750m2，所以xy＝750，解得，
又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，解得，
即a关于x的关系式为；
（2）由（1）知，，
则S＝（x﹣2）a+（x﹣3）a
＝（2x﹣5）（﹣）
＝﹣（3x+）
≤﹣2
＝，
当且仅当时，即x＝25时等号成立，
所以当x＝25m时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为．
20解：（1）记Ai＝“第i次答题时为甲”，B＝“甲积1分”，
则，，，
，，
所以，
则，解得；
（2）由题意可知当n＝2时，X可能的取值为0，1，2，
则由（1）可知：，，
，
X的分布列为：
随机变量X的数学期望为＝；
（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x乙，
则x甲﹣x乙＝2，且x甲+x乙＝n，所以甲晋级时n必为偶数，
令n＝2m，m∈N*，
当n为奇数时，Pn（A）＝0，
所以
＝，
又m≥1时，则P2（A）+P3（A）+⋯+Pn（A）随着m的增大而增大，
所以m＝1时取最小值，又当m→+∞时，→0，
所以．
21解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a＝0时，，
求导得，由f′（x）＝0，得x＝e，
由f′（x）＞0，得0＜x＜e，由f′（x）＜0，得x＞e，
因此f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x＝e处取得极大值，无极小值．
（2）由，
在x∈[1，e]时，2lnx∈[0，2]，
若a≤0⇒2﹣a﹣2lnx≥0，f′（x）≥0，即f（x）在区间[1，e]上单调递增；
若a≥2⇒2﹣a﹣2lnx≤0，f′（x）≤0，即f（x）在区间[1，e]上单调递减；
若0＜a＜2，令，令，
可知f（x）在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：a≤0时，f（x）在区间[1，e]上单调递增；
a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递减；
0＜a＜2时，f（x）在上单调递增，
在上单调递减．
（3）根据题意可知，
∴a≤x2ex+1﹣x﹣2lnx，
设g（x）＝x2ex+1﹣x﹣2lnx（x＞0），
则，
令h（x）＝x2ex﹣1（x＞0）⇒h′（x）＝（x2+2x）ex＞0，
则h（x）定义域上单调递增，易知h（0）＜0＜h（1），
即∃x0∈（0，1），使得，
即x∈（0，x0）时，h（x）＜0，故g′（x）＜0，此时g（x）单调递减，
x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，
则，
∴a≤2，即a的取值范围是（﹣∞，2]．
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0
1
2
P（ξ＝k）
X
0
1
2
P