（人教B版2019）高一数学上学期单元测试第3章函数能力卷含解析答案

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第3章函数能力卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2在区间（1，3）是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）A． B．C． D．[3，4]2．下列各函数图象中，不可能是函数的图象的是（    ）A． B．C． D．3．下列函数中，表示同一个函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与4．如果奇函数在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则在区间[-8，-2]上是（　　）A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为5．已知函数，关于的性质，有以下四个推断：①的定义域是；  ②的值域是；③是奇函数；              ④是区间上的增函数．其中推断正确的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．46．国家购买某种农产品的价格为120元/担，某征税标准为100元征8元，计划可购万担.为了减轻农民负担，决定税率降低个百分点，预计收购量可增加个百分点则税收（万元)与的函数关系式为A．B．C．D．7．已知是奇函数，则下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．8．若的定义域为，且满足为偶函数，的图象关于成中心对称，则下列说法正确的个数是（ ）①的一个周期为4②    ③图象的一条对称轴为④A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．下列函数为奇函数的是（    ）A． B． C． D．10．下列函数中，既是偶函数又是区间上增函数的有（    ）A． B． C． D．11．已知函数对，都满足，，若，，且在上为单调函数，则下列结论正确的有（    ）A． B．C．是周期为4的周期函数 D．的图象关于直线对称12．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ）A．是奇函数 B．C．的图象关于对称 D．是周期为4的周期函数三、填空题13．若函数是奇函数，则 .14．设函数的定义域为，则函数的定义域为 ．15．已知（为常数），，且当时，总有，则实数的取值范围是 ．16．已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为 .四、解答题17．已知，若，则求的值18．已知函数满足：对任意，有.（1）求的解析式；（2）求在区间上的最大值.19．已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.20．已知函数．(1)判断并证明的单调性；(2)判断是否为定值？证明你的结论．21．已知函数．(1)求函数的值域；(2)证明：；22．请你指出函数的基本性质（不必证明），并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明．（1）当时，等式恒成立；（2）若，则一定有；（3）若，方程有两个不相等的实数解；（4）函数在上有三个零点．参考答案：1．A【分析】首先求出二次函数的对称轴x＝，再利用二次函数的性质可得≤1或≥3，解不等式即可求解.【详解】解：根据题意，函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2为二次函数，其对称轴为x＝，若其在（1，3）是单调函数，则≤1或≥3，解可得：a≤或a≥，即实数a的取值范围是（﹣∞，，+∞）；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，需掌握二次函数的性质，属于基础题.2．C【分析】根据函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于ABD选项，对于每个都有唯一对应的与之对应，ABD选项中的图象均为函数的图象；对于C选项，存在，使得这个有两个与之对应，C选项中的图象不是函数的图象.故选：C.3．D【分析】利用当两函数的定义域相同，对应关系相同时是相同的函数逐个分析判断即可.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是相同函数，故A错误；对于B，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是相同的函数，故B错误，对于C，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是相同函数，故C错误；对于D，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同，所以两函数是同一个函数，故D正确；故选：D4．D【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．【详解】解：根据题意，在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即，且，又由为奇函数， 则在区间[-8，-2]上是减函数，且，则有， 故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5．C【分析】根据的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据对勾函数的单调性，判断④错误．【详解】①∵函数，∴的定义域是，故①正确；②，时：，时：；时，；故的值域是，故②正确；③，是奇函数，故③正确；④由，由于在内递减，在内递增，∴在区间上先增后减，故④错误；故选C．【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，属于中档题．6．A【分析】分别求得调节税率后税率为，预计可收购万担，总费用万元，进而可求得函数的解析式，得到答案.【详解】由题意，可得调节税率后税率为%，预计调节税率后可收购万担，总费用万元，所以税收与的函数关系式为.故选A.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，分别求得调节税率后税率，预计可收购和总费用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．A【分析】依据奇函数定义去判断与之间的关系，以及与之间的关系、与之间的关系，即可解决.【详解】是奇函数，则有，即，故选项A判断正确；选项B判断错误；把函数的图像向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数的图像，则由函数有对称中心，可知函数有对称中心.选项C：由，可得函数的周期为2.判断错误；选项D：由，可得函数有对称轴.判断错误.故选：A8．C【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得，由此推理计算即可判断各命题作答.【详解】的定义域为，由为偶函数，得，即，由图象关于成中心对称，得，于是，则，因此函数是周期为4的周期函数，①正确；由，得函数的图象关于直线对称，因此图象的一条对称轴为，③正确；由，得，则，，即，因此，④正确；而，则② 错误，所以正确说法的个数是3，C正确.故选：C【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.9．BC【分析】利用奇函数的定义分析判断即可.【详解】对于A，定义域为，因为，所以为偶函数，所以A不符合题意，对于B，定义域为，因为，所以为奇函数，所以B正确，对于C，定义域为，因为，所以为奇函数，所以C正确，对于D，定义域为，因为，所以为偶函数，所以D不符合题意，故选：BC10．BC【解析】根据偶函数的定义， 进行判断，再根据解析式判断单调性；【详解】A、令，则＝＝f（x），为偶函数，但在（0，+∞）上，是减函数，故错误；B、令，＝，是偶函数，且在区间上是增函数，故B正确；C、令，＝（﹣x）2+1＝x2+1＝f（x），且在区间上是增函数，故C正确；D、令，＝＝﹣x3＝﹣f（x），是奇函数，故D错误；故选：BC．11．ABD【分析】由条件求得，故周期为8，再结合所给的条件对各个选项进行转化判断即可【详解】解：因为函数对，都满足，，所以，所以，所以，所以的周期为8，所以C错误；，因为，且在上为单调函数，所以，所以B正确；因为，所以，所以，所以A正确；因为，所以，即，所以的图象关于直线对称，D正确.故选：ABD【点睛】此题考查抽象函数的性质，考查函数的周期、对称等性质，属于中档题12．BCD【分析】根据已知条件判断出的对称性、周期性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于为奇函数，所以图象关于原点对称，因为图象向右平移1个单位得到的图象，所以的图象关于点对称，且，C选项正确.由于为偶函数，所以图象关于轴对称，因为图象向右平移2个单位得到的图象，所以关于直线对称，所以由的图象关于点对称可得，所以，即，所以是偶函数，A选项错误.，所以是周期为4的周期函数，D选项正确，所以，B选项正确.故选：BCD【点睛】在同一个题目中，既涉及到奇函数，又涉及到偶函数，需联想到函数具有周期性.在解题过程中，一方面可以直接记住相关的结论，另一方面，可根据题意，结合函数的性质进行推导.13．【分析】利用奇函数的定义列式，化简后求得的值.【详解】由于函数是奇函数，故，即，，化简得，所以.经检验，当时，函数为奇函数.故.故填：.【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求参数，属于基础题.要注意验证函数的定义域是否关于原点对称.14．【分析】利用抽象函数的定义域求法即可得解.【详解】因为的定义域为，所以，所以对于，有.故答案为：.15．．【分析】由当时,总有可转化为当时,,利用均值不等式可得,即在上恒成立,进而参变分离可得在上恒成立,利用换元法求得的最小值即可【详解】由题,,因为当时,总有,即,因为,当且仅当,即时取等,由于,所以当时,；则在恒成立,即在恒成立,所以在恒成立,设,,,则,所以当时,,所以,故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题,转化为最值问题是解题关键；考查利用均值不等式求最值,注意取等条件；考查二阶行列式的应用,考查换元法求最值,考查运算能力和转化思想16．【分析】因为,即,画出函数图象,设有三个不同实数解,故方程有两个根,结合已知,即可求得答案.【详解】画出函数图象:设有三个不同实数解,方程有两个根其中一个在区间上,一个根为或在区间上,若方程一个根为,,另一根为,不满足条件.故方程有两个根,其中一个在区间上,一个在区间令①当时则解得:②当时即,故,将代入可得:,解得:满足方程两个根中,一个在区间上,一个在区间综上所述,实数的取值范围为:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.17．【详解】试题分析：分段函数往往与方程不等式一起综合进行考查，解题的关键点是根据自变量的取值情况决定其对应运算法则，一般需要分类讨论求解，分段函数分类求解是解决这类问题的基本策略. 试题解析： 4 .7 .10 .12考点：分类讨论18．(1) (2) 【分析】（1）用替换，得方程组消去即可求解.（2）根据对勾函数在上单调递减，上单调递增，讨论的取值范围即可求解.【详解】解：（1）由可得；（2）在上单调递减，上单调递增，当时，；当时，；当时，，综上，【点睛】本题主要考查方程组法求解析式、根据函数的最值求参数的取值范围，属于中档题.19．（1）为奇函数，理由见解析；（2）3.【分析】（1）先求解原函数的定义域，然后计算，利用与的关系判断；（2）利用参变分离思想，使在上恒成立，然后求解函数的最小值，使成立即可.【详解】解：（1）的定义域为，关于原点对称因为，，所以，即为奇函数．（2）由不等式，可得，令，因为，故可令，则，，则，由对勾函数的性质可知在上递增，所以，即所以的最大值为3．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数与不等式恒成立问题，难度一般.函数与不等式恒成立问题可采用参变分离思想，转化为函数最值问题处理.20．(1)在R上为减函数，证明见解析(2)是，证明见解析【分析】（1）直接通过单调性的定义进行证明即可；（2）计算出的表达式，即可得结果.【详解】（1）在R上为减函数任取，且，则∵，∴，∴，∴即又，∴，即∴在R上为减函数（2）是定值∴21．(1)(2)证明见解析．【分析】(1)根据倒数代换和二次函数的值域以及反比例函数的特点即可求解.(2)根据函数不动点的定义即可求解.【详解】（1），设，则有，所以函数的值域为；（2） 当时，此时显然； 当时，必有两点位于函数图像上，且两点关于直线对称．又因为，所以．因为当时，．即对恒成立，所以不存在两点关于直线对称．综上，．22．（1）正确；（2）正确；（3）不正确；（4）不正确.【详解】依题，其图象如下所示：  （1）对于任意的，，故恒成立，故正确；（2）由于为单调递增函数，故如果，则恒成立，因此，一定有，故正确；（3）由图象可知当时，与无公共点，方程无实数根，故结论（3）不正确；（4），若，则只有，故结论（4）不正确.