（人教B版2019）高一数学上学期单元测试第4章指数函数、对数函数与幂函数基础篇含解析答案

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第4章���指数函数、对数函数与幂函数基础篇学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．a=0.73，b=log0.73，c=30.7（    ）A．b>a>c B．a>c>b C．a>b>c D．c>a>b2．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ）A． B． C． D．3．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：在以下区间中，一定有零点的是（    ）A．（1，2） B．（2，4） C．（4，5） D．（5，6）4．已知，，，则､､的大小关系是（    ）A． B． C． D．5．已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是A． B． C． D．6．已知函数，则满足函数的定义域和值域都是实数集的实数构成的集合为 （    ）A． B． C． D．7．若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．8．定义域为的偶函数满足：对任意都有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围为   (　　)A． B． C． D．二、多选题9．下列函数存在零点的是（　　）A． B．C． D．10．已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（    ）A． B． C． D．11．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，则（    ）A． B．C．的最小值为2 D．是减函数12．已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（    ）A． B．的最大值为4C．t的取值范围是 D．的取值范围是三、填空题13．幂函数图象经过点（9，3），则f（4）= .14．已知幂函数过点，则不等式的解集为 ．15．已知，则的值为 .16．已知，函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围为 ．四、解答题17．已知，在同一坐标系中作出这两个函数的图像.（1）估计它们交点的坐标，并验证；（2）根据图像写出不等式和的解集.18．函数在区间上是否存在零点？若存在，有几个零点？19．化简求值：(1)(2)20．已知函数．（1）若，求函数的零点；（2）探索是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说明理由．21．已知函数的定义域为，且对于任意的，恒有，且，当时，恒有.(1)求的值：(2)求证：在上是单调增函数；(3)如果，求函数的最小值的表达式.22．已知关于的方程.（1）求证：不论为何值，方程必有实数根；（2）当为整数时，方程是否有有理根？若有，求出的值；若没有，请说明理由.12456123.13615.55210.88-52.488-232.064参考答案：1．D【解析】将三个数和0、1比较大小即可得大小关系.【详解】，所以c>a>b.故选：D.2．B【分析】利用待定系数法求出的表达式即可．【详解】解：设，则，解得，则，则．故选B．【点睛】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．3．C【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.【详解】∵ ∴ ，，，,又函数的图象是一条连续不断的曲线，由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点．故选：C.4．B【解析】利用中间值、指数函数和幂函数的单调性即可得出.【详解】解：，，，为增函数，，，.故选：.5．B【分析】做出函数图像，直线过原点，对分类讨论，，只有一个公共点，当时，根据图像分析，只需与有两个公共点，转化为在有两个不同的解，利用韦达定理和根的判别式即可求解.【详解】做出函数如下图所示：当，直线与函数只有一个公共点，不合题意；当时，，直线与函数部分只有一个公共点，要使直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，直线与函数有两个公共点，即方程在有两个不同的解，故有，解得.故选:B  【点睛】本题考查函数与直线的位置关系，等价转化为一元二次方程根的分布，考查数形结合思想，属于中档题.6．A【解析】若定义域为实数集，则对于恒成立，可得，若值域为实数集，令，则 此时需满足的值域包括，可得，再求交集即可.【详解】若定义域为实数集，则对于恒成立，即对于恒成立，因为，所以，所以，令，则 若值域为实数集，则的值域包括，因为，所以，所以，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为的等价条件即对于恒成立，分离参数求其范围，值域为的等价条件即可以取遍所有大于的数，由，所以，再求交集.7．D【分析】利用对数函数的性质即得.【详解】由，得，当时，有，所以；当时，则有；综上可知，的取值范围是．故选：D.8．C【分析】在上至少有三个零点即和的图像在上有三个交点，借助函数图像求解即可.【详解】因为是偶函数，所以，即的周期，在上至少有三个零点即和的图像在上有三个交点，显然，和的图像如下：由图可得解得，故选：C.9．BCD【分析】利用判别式即可分别判断.【详解】对A，，故没有零点，故A错误；对B，，故有2个零点，故B正确；对C，，故有2个零点，故C正确；对D，，故有1个零点，故D正确.故选：BCD.10．BCD【分析】设，得到，，，分别作出，，的图象，结合图象，即可求解.【详解】根据题意，设，其中，则，，，在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，当时，；当时，；当时，，由此可以看出，不可能出现这种情况.故选：BCD.  11．BC【分析】根据函数的奇偶性构造方程求出函数解析式，据此判断AB，再由均值不等式及单调性判断CD.【详解】由，得，两式相加得，则，所以，，A错误，B正确．因为，所以（当且仅当时，等号成立），因为均是上的增函数，是上的增函数，C正确，D错误．故选：BC12．AD【分析】首先作出函数的图象，根据图象的对称性，判断A；根据基本不等式判断B；根据图象，以及与函数的图象有3个交点，判断C；求出的范围，即可求解的取值范围，判断D.【详解】如图，作出函数的图象，根据，可知，是与的两个交点，根据对称性可知，则，因为，所以，故A正确，B错误；，由图可知t的取值范围是，故C错误；因为，所以，又，则的取值范围是，故D正确．故选：AD13．【分析】先代入点坐标，得到，得到函数解析式，进而求出.【详解】设，因为函数过点，所以，即，所以，即，所以.故答案为：214．【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解.【详解】依题意，不妨设，将代入得，解得，所以，则由，得，解得，所以的解集为.故答案为：.15．【分析】根据指数运算和对数运算化简求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：16．【分析】当时，无零点，则有两个零点即可求解的取值范围，当时，有一个零点，结合二次函数的性质讨论即可得的取值范围．【详解】当时，无零点，则在内有两个零点，对称轴，则即，该不等式无解；当时， 只有一个零点，则在内有一个零点，所以或，前者即为，后者无解，所以.综上可得的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，二次函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．17．（1）见解析；（2）.【分析】（1）在同一直角坐标系内画出图像，根据函数的解析式进行验证即可；（2）由函数的图像直接写出不等式的解集.【详解】解：（1）图像如下.  函数与的图像交点的坐标为.验证如下：，∴点是函数与图像的一个交点；,∴点（3，8）是函数与图像的另一个交点.（2）由图像知的解集为的解集为.【点睛】本题考查了画函数图像，考查了根据函数图像解不等式问题，考查了数形结合思想.18．存在，函数在区间上有三个零点．【分析】借助于计算器首先考察区间的两个端点的函数值的符号是否相异，若为异号，则该区间上必有零点；若为同号，则再考察区间中间点的函数值的符号是否与区间两端点的函数值异号，经过几次这样的考察，即可得到本题的答案．【详解】因为，，所以在区间上至少有一个零点．取区间的中点；取区间的中点；取区间的中点．因为，所以在区间上至少有一个零点；因为，所以在区间上至少有一个零点；因为，所以在区间上至少有一个零点．又由于函数是三次函数，最多有三个零点，所以，函数在区间上有三个零点．【点睛】本题考查零点存在性定理，利用二分法确定零点所在的区间，考查数形结合思想，属于基础题.19．(1)(2)【分析】（1）根据根式与指数的运算化简求解即可；（2）根据对数运算法则与换底公式，结合指数运算求解即可.【详解】（1）（2）20．（1）；（2）存在，，证明见解析.【分析】（1）由题知，再令解方程即可得答案；（2）假设存在，再结合函数的定义域为，得，再检验即可得.【详解】（1）当时，，由得，所以，即，解得，所以函数的零点为．（2）假设存在实数，使得函数为奇函数，因为的定义域为，关于原点对称，则，所以，此时，又因为，此时为奇函数，满足题意．故存在实数，使得函数为奇函数．21．(1)2；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）由函数的定义不难得解；（2）由函数单调性的定义即可证明；（3）利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）∵对于任意的，恒有，且,（2）设是上的任意两个数，且，则,,又∵当时，恒有，∴，∴，即，∴，∴在上是单调递增函数.（3）∵,∴,又∵在上是单调增函数.∴，即,又∵函数,令，则,,（1）当时，在上单调递增,∴,（2）当时，在上单调递减,∴,（3）当时，,综上所述，函数的最小值.22．（1）见解析；（2）当为整数时，关于的方程没有有理根. 理由见解析.【分析】（1）对二次项系数分类讨论，结合判别式即可证明；（2）先计算出并且设为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论的存在性．变形为，利用都为整数进行讨论即可．【详解】（1）证明：当，即时，原方程为，此方程为一元一次方程，其根为；当，即时，∴当时，原方程必有两个不相等的实数根，综上所述，不论为何值，方程必有实数根；（2）解：当为整数时，关于的方程没有有理根.理由如下：①当时，（不合题意舍去）；②当且为整数时，假设关于的方程有有理根.则要为完全平方数，设（为整数），即（为整数），所以有，∵与的奇偶性相同，并且、都是整数，∴或，解得（不合题意舍去）.综上所述，当为整数时，关于的方程没有有理根.