人教A版2019必修第二册高中数学专题02第六章解三角形及其应用含解析答案

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专题02�第六章�解三角形及其应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（    ）A． B．C． D．2．在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为（    ）A．2个 B．1个 C．0个 D．无法确定二、填空题4．在中，角所对应的边分别为，已知，则角 .5．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则 ．6．在中，内角所对应的边分别为，且，则 .7．设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 .8．在中内角所对边分别是若，则的形状一定是 ．9．在△ABC中， (分别为角的对边)，则的形状为 .10．中，角的对边分别是a、b、c，若，则的形状是 .11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若为锐角三角形，则的取值范围是 .12．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是 ．13．已知锐角三角形的内角的对边分别为，若，则的取值范围是 .14．在中，角所对的边长分别为，若，则 .15．在中，的对边分别为，已知，若有唯一解，则实数的取值范围为 .16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若AD为BC边上的中线，，则△ABC的面积为 ．17．在中，已知，则边上的中线长度为 .18．在中，，，，若，则边中线的最小值为 .19． 中, 边上的中线等于,且,则 ．三、解答题20．已知函数．在中，，且．(1)求的大小；(2)若，且的面积为，求的周长．21．已知满足．(1)求；(2)若为的角平分线，，，求的周长.22．在中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若的面积，求的周长．23．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．(1)求；(2)若的面积为，求的周长．24．在中，角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，，求的面积．25．在中，内角的对边分别为，且.(1)证明：.(2)若，，求的面积.26．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且.(1)求；(2)若，为边上一点，，，求的面积.27．已知中，角所对的边分别为.(1)求角；(2)若，且的周长为，求的面积.28．在气象台正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.(1)若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？（参考数据：）(2)台风对气象台的影响从开始到结束，线段扫过的面积是多少？29．如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通两地，处位于东西方向的直线上的陆地处，处位于海上一个灯塔处，在处用测角器测得，在处正西方向的点处，用测角器测得.现有两种铺设方案：①沿线段在水下铺设；②在岸上选一点，设，先沿线段在地下铺设，再沿线段在水下铺设.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元、4万元.(1)求两点间的距离；(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.30．如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，．(1)半径的长（精确到小数点后两位）；(2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）31．如图所示，某海域的东西方向上分别有两个观测塔，它们相距海里，现观测塔发现有一艘轮船在点发出求救信号，经观测得知点位于点北偏东同时观测塔也发现了求救信号，经观测点位于点北偏西，这时位于点南偏西且与相距30海里的点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.(1)求点到点的距离；(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点大约需要多少分钟.32．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.(1)求A；(2)已知，的面积为，且AD为角A的角平分线，求线段AD的长.33．在中，点在边上，，．(1)若是的角平分线，求；(2)若是边上的中线，且，求．34．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长．35．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．36．已知(1)求函数的最小值以及取得最小值时的集合；(2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围．37．记的内角的对边分别为，，，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．38．在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.(1)求角；(2)求的取值范围.39．已知．(1)求函数图象的对称轴方程；(2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围．40．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求A；(2)若，求周长的取值范围.41．在锐角中，已知.(1)求；(2)求的取值范围.42．已知，，分别为三个内角A，，的对边，．(1)求证：；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．43．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若，求△ABC的面积S的最小值．44．锐角的内角的对边分别为，已知(1)求角的值；(2)若求面积的取值范围．45．的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.46．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.47．中角所对的边分别为，其面积为，且.(1)求；(2)已知，求的取值范围.48．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，设点P为的费马点，求；(3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值.49．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．(1)若，且满足，求的大小．(2)若为锐角三角形．（ⅰ）证明：．（ⅱ）若平分，证明：．50．古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.(1)利用以上信息，证明三角形的面积公式；(2)在中，，，求面积的最大值.参考答案：1．D【分析】由正弦定理结合大边对大角，小边对小角对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，所以三角形有2解，故A错误；对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，故B错误；对于C，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，则为钝角，不成立，所以无解，故C错误；对于D，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，所以此三角形只有唯一解,故D正确.故选：D.2．B【分析】过作于，根据的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围.【详解】由题设，过作于，如下图示，则，可得时，三角形有两解.当，即时，三角形不存在；当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；   故选：B3．A【分析】由正弦定理求出的值，验证大边对大角原理即可.【详解】由正弦定理可得，所以或，又，所以，符合大边对大角原理，所以满足条件的三角形个数为2个.故选：A.4．/【分析】由题意结合正弦定理可解出，进而求得，由角的取值范围即可解出.【详解】，即，即，由正弦定理，，，即，因为，所以，所以，因为，所以.故答案为：.5．/【分析】根据正弦定理进行边角互换得到，然后利用余弦定理计算即可.【详解】，由正弦定理变形得，，又由余弦定理得，．故答案为：.6．【分析】根据三角函数同角的平方关系求，再利用正弦定理计算即可.【详解】因为在中，，所以，又，所以，因为，所以故答案为：.7．【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.【详解】由余弦定理得，，而由，得，因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以，所以，解得或，当时，即，，由大边对大角得：最大角为C，，故C为锐角，不符合题意；当时，即，，由大边对大角得：最大角为B，，故B是钝角，符合题意，故答案为：8．直角三角形【分析】利用余弦定理翻译条件，勾股定理判断直角即可.【详解】∵，∴整理可得：，∴的形状一定是直角三角形．故答案为：直角三角形．9．直角三角形【分析】在中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知转化为，整理即可判断的形状．【详解】在中，，，，，，，为直角．故答案为：直角三角形．10．等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理将条件转化为角的关系，化简判断三角形形状.【详解】因为，为的外接圆半径，所以，又，所以，所以，所以，又，所以或所以或，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.11．【分析】利用正弦定理边化角，借助三角恒等变换可得，结合锐角三角形得，再利用正弦定理边化角并借助正切函数性质求出范围.【详解】在中，由及正弦定理得，即而，则，而是锐角三角形，则，于是或，当时，，则与矛盾，即有，则，解得，此时，解得，，.故答案为：12．【分析】利用余弦定理及正弦定理边化角整理计算得到的大小，然后利用正弦定理将用角的表示，利用辅助角公式变形，利用正弦函数的性质求最值.【详解】因为，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，又，所以，由正弦定理，所以，所以，由得，所以，即的取值范围是.故答案为：.13．【分析】由二倍角公式可得，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得，可得，根据三角形为锐角三角形求出角B的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得，可得范围.【详解】因为，所以，所以，由正弦定理得，即，所以，所以，即，所以或（舍去），因为三角形为锐角三角形，所以，又，解得，所以.因为，所以的取值范围为.故答案为：14．/【分析】将条件中的正切化为正弦和余弦，整理得到，再使用正弦定理和余弦定理即可，【详解】因为，所以，即， 结合正弦定理，知，故，从而，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，一开始将关于正切的条件转化为较为容易研究的正弦和余弦，再使用正弦定理和余弦定理即可.15．或【分析】转化为有唯一解，再计算即可.【详解】因为，由题意可知，若有唯一解，则有唯一解，所以或，即实数的取值范围为或.故答案为：或.16．/【分析】由余弦定理得，，又，两边同时平方可求出，两式联立求解出，再由三角形的面积公式可求出答案.【详解】由，所以，由余弦定理得，，又，所以，即，解得，所以△ABC的面积．故答案为：.17．【分析】在分别利用余弦定理，列方程，解方程组可得答案【详解】解：因为，为的中点，所以在中，由余弦定理得,在中，由余弦定理得,因为，所以，所以，得，解得，或（舍去）故答案为：18．/【分析】结合数量积的运算律以及基本不等式即可求解.【详解】由条件可得，则=，则，当且仅当时取等号，即的最小值.故答案为：.19．【分析】设，则，由余弦定理知及诱导公式可得答案【详解】设中点为，，因为 边上的中线等于，所以，由余弦定理知及诱导公式得，，解得，，故答案为：．20．(1)(2)【分析】（1）化简函数，根据题意，得到，进而求得，即可求解；（2）由（1）和的面积取得，利用余弦定理得，进而求得的值，即可求得的周长.【详解】（1）解：由函数，因为，可得，在中，因为，所以，又因为，所以，所以，解得，因为，所以.（2）解：由（1）知，因为的面积为，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以的周长为.21．(1)；(2)．【分析】（1）利用正弦定理，角化边，结合余弦定理求得，即可得答案；（2）在，为的角平分线，可得和的面积比，可得，由余弦定理求得，再得，可得，则得到的周长.【详解】（1）在中，由正弦定理：，则，，，因为，所以，即，由余弦定理：，因为，所以；（2）设边上的高为，因为为的角平分线，所以，所以的面积：，的面积：，因此，又，，所以，在中，由余弦定理：，所以，    而，，所以，又因为， 由即，解得，所以的周长为：．22．(1)；(2)6.【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得.（2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可.【详解】（1）在中，由，得，由正弦定理得，即，又，即，于是，由，得，因此，又，所以．（2）由的面积，得，得，又，由余弦定理，得，则，于是，解得，所以的周长为．23．(1)(2)10【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式求解作答.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答.【详解】（1），由正弦定理可得，因，所以，可得，为三角形内角，，解得，；（2）， ，由余弦定理得，即，解得，的周长为.24．(1)；(2)【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合和差角公式即可求解，（2）根据余弦定理可得，进而根据三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，在中，，则有，，，又，，，,；（2）根据余弦定理有，则有，解得或（舍去），则.25．(1)证明见解析(2)或【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可；（2）利用余弦定理及（1）的结论，三角形面积公式计算即可.【详解】（1）根据正弦定理知，整理得，因为，所以，由正弦定理可得；（2）因为，所以，由余弦定理可得，即，则，因为，所以，所以，则，即，解得或，当时，，此时的面积，当时，，此时的面积.所以的面积为或.26．(1)(2)【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式求解即可.（2）在中根据余弦定理列方程，再把用和表示，两边平方列方程，解方程组求出边长即可求出三角形的面积.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为为三角形的内角，，所以，又，所以，因此，因为，，所以，即，故的值为.（2）由（1）知，且，在△中，由余弦定理得，即①由于，所以，平方得，即②由①②得：，所以△的面积为，即所求面积为.27．(1)(2).【分析】（1）利用正弦定理边化角，切化弦后整理可得；（2）根据余弦定理，联立已知条件解方程组可得，然后由面积公式可得.【详解】（1）由正弦定理边化角得，所以，即，整理得，因为，所以，又，所以.（2）由正弦定理得，又，所以，即，所以，所以，所以，所以的面积.28．(1)气象台会在3小时后受到影响，影响持续9小时；(2)【分析】（1）如图，确定台风中心到达和时气象台A刚好受到台风影响，利用余弦定理计算求出，即可求解；（2）由题意可知即为题意所求的面积，结合三角形面积公式计算即可求解.【详解】（1）如图，因为，所以点A到直线的距离为，因为，所以气象台会受到台风的影响.假设台风中心到达和时，气象台A刚好受到台风影响，则，台风中心在和之间运动时，气象台A持续受到影响.设台风中心距离点，即，在中，由余弦定理得，即，即，解得，即或480.则，所以气象台会在小时后受到影响，影响持续小时.（2）由题可知台风影响从开始到结束，线段扫过的面积为29．(1)(2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）由，，得到，、间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）先求出方案①总铺设费用，对于方案②：设，在直角三角形中表示出总铺设费用，并利用导数求其最小值，然后比较大小即可得答案    ．【详解】（1）过作的垂线，垂足为，如图：在中，，所以，在中，，所以．则，即，所以，，由勾股定理得，．所以，两点间的距离为；（2）方案①：沿线段在水下铺设时，总铺设费用为（万元）．方案②：设，则，其中，在中，，，所以．则总铺设费用为，当且仅当时等号成立，所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时． 而，所以应选择方案②进行铺设，点选在的正西方向处，总铺设费用最低．30．(1)15.28公里(2)1.25小时【分析】（1）在中，利用余弦定理解得，利用正弦定理求外接圆半径；（2）根据题意利用正弦定理可得，在，利用余弦定理求得.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，即，所以（公里）.（2）在中，可得，在中，由正弦定理可知，即  可得，所以，在中，由余弦定理可得，，即（公里），所以所需时间为小时.31．(1)20海里(2)分钟【分析】（1）利用正弦定理解三角形计算即可；（2）利用余弦定理解三角形计算即可.【详解】（1）由题意知：，，，所以，在中，由正弦定理可得：，即，所以（海里）；（2）在中，，，，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的时间为（分钟）.32．(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得.（2）利用三角形面积公式求出，结合已知求出，再利用三角形面积公式列出方程求解即得.【详解】（1）由，得，而，所以.（2）由的面积为，得，解得，由，得，而，，则，由AD为角A的角平分线，得，因此，所以.33．(1)(2).【分析】（1）在和中，分别利用正弦定理即可得的值；（2）利用余弦定理即可求解．【详解】（1）解：点在边上，，．是的角平分线，在和中，由正弦定理可得，；，，．（2）解：因为是边上的中线，设，，，，，，化简可得，解得或（舍去），．34．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式求出，进而求出A；（2）先根据向量数量积公式得到，由余弦定理变形得到，由和面积公式求出.【详解】（1）∵，∴由正弦定理得：，∴，即，又∵，∴，则有，∴，即，又∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，解得；（2）由得，，所以，由（1）知，，  由余弦定理得：，因为，所以，∴，由得：，∴．35．(1)；(2)①；②.【分析】（1）利用正余弦定理即求；（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.【详解】（1）∵且,∴，即，∴，又，∴；（2）选①∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，即，∴由基本不等式可得：， ∴，当且仅当时取“=”，∴，即的面积的最小值为；②因为AD是BC边上的中线，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∵，∴，在中，，由余弦定理得，∴∴，解得，当且仅当时取“=”，所以，即的面积的最大值为.36．(1)函数的最小值为，取最小值时的集合为(2)周长的取值范围为.【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；（2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围.【详解】（1）由于，故，由，得，故当时，函数取最小值，最小值为；所以函数的最小值为，取最小值时的集合为.（2）由，得，而，所以，故，由于，则，则，则，而，则，即，故周长的取值范围为.37．(1)(2)【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换整理可得，即可得结果；（2）由（1）可知，分析可得，，根据正弦定理边化角，利用三角恒等变换结合基本不等式分析求解.【详解】（1）因为，可得，且，所以．（2）由（1）可知，，则，，因为，且，可得，则，所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．38．(1)(2)【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可；（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】（1），，即，由正弦定理得，，，，，，由，得.（2）由（1）知，，因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，在中，，，，,，，，，所以的取值范围为.  39．(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；（2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围.【详解】（1）由于，故，由，得故函数图象的对称轴方程为；（2）由，得，而,故，由于，则，则，则，而，则，即，故周长的取值范围为.40．(1)(2)【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出，然后根据A的范围，即可得出答案；（2）根据正弦定理得出，.设周长为，表示出周长.然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出.然后根据的范围，即可得出答案.【详解】（1）在中，由已知结合正弦定理角化边可得，整理可得，所以.又，所以.（2）由（1）知，所以，，记的周长为，则，由，，得，所以.又，所以，则，故41．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，再借助三角函数和差角公式化简可解；（2）利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式化简求范围.【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，则，展开可得，.（2）由正弦定理，则，其中，是锐角三角形，，.，，显然，当时，，.42．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果；（2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又因为，代入整理得，且，则，可得，整理得，由可知，则，解得，可知，所以．（2）因为，即，由余弦定理可得，即，所以，由正弦定理可得，则，，则，可得，因为为锐角三角形，则，解得，则，可得，则，可知，所以．43．(1)；(2)．【分析】（1）结合已知条件，先利用进行化简，再利用二倍角公式即可求，从而可求A；（2）结合三角形面积公式、基本不等式、余弦定理即可得到答案.【详解】（1）由题意可得，因为，所以．因为，所以，即，因为，所以，所以，所以，可得，即．（2）由（1）知；且，由余弦定理得，整理得，解得或（当时，，故舍去），（当且仅当时取等号）．从而，即△ABC面积S的最小值为．44．(1)(2)【分析】（1）根据已知条件及正弦定理的边角化，利用两角和的正弦公式及内角和定理，结合特殊值的三角函数即可求解；（2）根据（1）的结论及正弦定理边角化，利用三角形的面积公式及两角差的正弦公式，再利用降幂公式及辅助角公式，结合锐角三角形的定义及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）及正弦定理，，，,即，又，.（2）在中，由正弦定理定理，可得，是锐角三角形，，解得，由，得，所以，于是有，故面积的取值范围为.45．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函数关系化简已知等式，可得，即可求得答案；（2）利用正弦定理求出a的表达式，并结合恒等变换公式化简，利用为锐角三角形，求出角C的范围，即可求得a的取值范围，再利用三角形面积公式，即可求得答案.【详解】（1）因为中，，即，而，故，故，又，则；（2）由（1）以及题设可得；由正弦定理得，因为为锐角三角形，，，则，则，则，即，则，即面积的取值范围为.46．(1)(2).【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解；若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解；若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解.（2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）解：若选①：在中，因为，由，可得，由正弦定理得，即，则，又因为，故. 若选②：由，可得，所以，因为，所以.若选③：因为，正弦定理得，又因为，所以，即，因为，，所以，又因为，可得； 综上所述：选择①②③，都有.（2）解：由，可得，所以，可得，当且仅当时取等号，  则，当且仅当时取等号，则的面积的最大值为.47．(1)(2)【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解，进而可求解，（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.【详解】（1）因为三角形的面积为，则，所以，又，则；（2）由于，所以，即，取等号，故，故48．(1)(2)(3)【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；（3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由，得，故.由正弦定理可得，故直角三角形，即.（2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：， 设，由，得，整理得， 则.（3）如图，点为的费马点，则，设，则由，得； 由余弦定理得，，， 故由，得，即，而，，故，当且仅当，结合，解得时，等号成立.又，即有，解得或（舍去），故实数的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用面积法得到，最后根据向量数量积的定义即可.49．(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出的值即可；（2）（ⅰ）在内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，针对分别在、和内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得：，即可得证；（ⅱ）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，平分，将代入，化简整理即可得证.【详解】（1）若，即，得，点满足，则，在和中，，，所以与相似，且，所以，即，由余弦定理得：，且，，得，且，所以；（2）（ⅰ）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，，，三式相加可得：①在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，在和内，同理：，，三式相等：，因为，由等比性质得：②由①②式可证得：；（ⅱ）因为，即，所以，在中，分别由余弦定理得：，，，三式相加整理得，，将代入得：若平分，则，，所以③又由余弦定理可得：④由③-④得：所以，所以.【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形得面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键.50．(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据题意结合余弦定理分析证明；（2）利用三角恒等变换结合正弦定理分析可得，再运用题中公式结合基本不等式运算求解.【详解】（1）因为，即，可得，且，则，所以.（2）因为，由题意可得，即，整理得，由正弦定理可得，即，的面积，因为，当且仅当时，等号成立，则，所以面积的最大值为.