人教A版2019必修第二册高中数学专题03第七章复数含解析答案

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专题03�第七章�复数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数 (是虚数单位)，则=（    ）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（    ）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件3．若，则（    ）A． B．C．或 D．4．复数（且），若为纯虚数，则（    ）A． B． C． D．5．若为纯虚数，则（    ）A．2 B．4 C． D．6．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．若复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若复数满足，则（    ）A． B． C． D．10．已知复数是虚数单位，，则的最小值是（    ）A． B． C． D．111．若为虚数单位，，则的最大值为（    ）A．2 B． C．4 D．12．已知复数和满足，则（   ）A．1 B． C． D．213．已知复数满足，则的最大值为（    ）A． B． C． D．14．已知为虚数单位，，则（    ）A． B． C． D．15．设，则（    ）A． B． C． D．016．复数（    ）A． B．C． D．17．已知为复数，则“”是“”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件18．已知复数z的共轭复数满足，则（    ）A． B．1 C．2 D．4二、多选题19．已知复数为虚数单位，则下列说法错误的是 （   ）A．的虚部为 B． C． D．为纯虚数20．若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题21．已知复数，则在复平面内，所对应的点的坐标为 ．22．若，则的最大值为 .23．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ．24．复数的共轭复数的模是 .四、解答题25．设复数（其中），．(1)若是实数，求的值；(2)若是纯虚数，求的虚部以及26．已知复数（为虚数单位，）.(1)若为实数，求的值;(2)若为纯虚数，是关于的方程的一个根，求方程的另一根.27．当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？(1)实数；(2)纯虚数；(3)在复平面内表示的点位于第四象限．28．实数m取什么值时，复数是：(1)实数？(2)纯虚数？29．已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（为正整数）有个不同的复数根．(1)设，求；(2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合；(3)复数，求．30．（1）对实系数的一元二次方程可以用求根公式求复数范围内的解，在复数范围解方程；（2）对一般的实系数一元三次方程（），由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J. Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得于是，方程一个根可以写成．阅读以上材料，求解方程．31．被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法．(1)已知，求；(2)已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求；(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：，所以．类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：）32．欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：(1)将复数表示成(，i为虚数单位)的形式；(2)求的最大值.参考答案：1．A【分析】直接计算得到，再用共轭复数的定义求.【详解】因为，所以其共轭复数.故选：A．2．B【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.【详解】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性.故选：B3．A【分析】利用复数的乘法运算计算，再根据所得结果为实数求出.【详解】显然，依题意，是正实数，因此，所以.故选：A4．A【分析】求出，根据为纯虚数即可求解.【详解】，因为为纯虚数，所以，所以.故选：A.5．A【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，由题意可得且，解方程即可得出答案.【详解】由题得，因为为纯虚数．所以且，解得．故选：A．6．D【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可.【详解】由题意知：，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.7．A【分析】根据共轭复数的定义得，即可求解对应的点.【详解】由可得，故在复平面内对应的点为,故对应的点为第一象限，故选：A8．B【分析】根据复数的几何意义可解.【详解】复数在复平面内对应的点为，其位于第二象限.故选：B9．D【分析】先求得z，然后求得|z|.【详解】依题意，，故，故.故选：D10．B【分析】由复数的模长计算结合同角的三角函数和辅助角公式计算可得.【详解】由已知可得，所以，当时，上式模长取得最小值，最小值为，故选：B.11．D【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值.【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值，如图所示，最大值为.故选：D.12．A【分析】设，利用复数的模长结合已知组成方程组，解出即可.【详解】设因为，所以，即，①又，所以，即，②又，所以，即，③②③可得，④把①代入④可得，所以，故A正确；故选：A.13．C【分析】几何意义为圆上的点，理解为圆上的点到的距离，利用圆的性质求最值即可.【详解】设，，则，即，表示以为圆心，为半径的圆，所以可理解为圆上的点到的距离，所以的最大值为.故选：C.14．B【分析】借助复数的四则运算及复数模长计算公式计算即可得.【详解】，则，故.故选：B.15．A【分析】根据复数的乘除法运算化简，从而可得共轭复数.【详解】，故.故选：A.16．D【分析】根据复数乘除法以及模长计算公式，整理化简即可求得结果.【详解】.故选：D.17．A【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立.【详解】若，则，则，故充分性成立；若，设，则，，则，或与不一定相等，则必要性不成立，则“”是“”的充分非必要条件，故选：A18．C【分析】根据复数除法运算求出，然后即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：C19．AD【分析】由复数的基本概念可判断AD错误，由模长公式计算即可判断B正确，由于与为方程的两个根，可知，，，即可求解.【详解】复数，故实部为，虚部为，故AD错误；，故B正确；与为方程的两个根，可知，所以，，故C正确.故选：AD20．BCD【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.【详解】对于A，由，得，则A错误.对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.对于C，设（，且），则，所以，则C正确.对于D，由，得.设（，且），则，，从而，则D正确.故选：BCD21．【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出，再求出所对应的点的坐标.【详解】依题意，，所以对应的点的坐标为.故答案为：22．3【分析】由复数模的几何意义确定复数z对应点的轨迹，问题化为圆上点到原点的距离最大值，即可得结果.【详解】令且，又，所以，即，所以复数z对应点在以为圆心，半径为1的圆上，又表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，所以的最大值为.故答案为：323．/【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部.【详解】因为，又，所以，所以复数的虚部为.故答案为：24．1【分析】利用复数的除法运算化简复数z，再求其共轭复数的模即可.【详解】，所以，所以.故答案为：1.25．(1)；(2) ，【分析】（1）根据复数的分类即可求解，由复数的乘法运算即可求解，（2）根据纯虚数的定义即可求解即可根据模长公式求解.【详解】（1）∵是实数，∴，           ∴；.（2）∵是纯虚数， ∴且，故， 故的虚部为，.26．(1)或(2)3【分析】（1）根据复数的定义计算即可；（2）根据复数的定义先求，再利用因式分解即可得解.【详解】（1）根据复数的定义可知若为实数，则或；（2）根据复数的定义可知若为纯虚数，则，则，则由，得，所以另一个根为.27．(1)或(2)(3)【分析】（1）若为实数，可知虚部为0，列式求解即可；（2）若为纯虚数，可知虚部不为0，实部为0，列式求解即可；（3）由题意可知虚部小于0，实部大于0，列式求解即可.【详解】（1）若为实数，则，解得或．（2）若为纯虚数，则，解得．（3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得．28．(1)或6；(2).【分析】（1）（2）利用实数、纯虚数的定义列式求解即得.【详解】（1）复数是实数，则，解得或，所以当或时，复数z是实数.（2）由复数z是纯虚数，得且，解得，所以当时，复数z是纯虚数.29．(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得.（2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解.（3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得.【详解】（1）依题意，，所以.（2）设，则，因此，，解得，由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，因此对应的依次为，所以所求的集合是.（3）当时，，，则，，因此关于的方程的根为，则，又，由此可得，则，令，得，而为奇数，所以.30．（1），；（2），，．【分析】（1）利用实系数的一元二次方程求根公式求解此一元二次方程（2）根据题干所给的求根方法按步骤计算：先进行代换，消去二次项，再根据卡尔丹公式对整理后的三次方程求解.【详解】（1）在一元二次方程中，，，即，．（2）令，方程化为：，令，则有，于是得即，，是关于的方程的二根，解得，即或，而，，因此或，于是得，方程化为，解得或，因此或，所以方程的解为，，．31．(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意直接代入运算即可；（2）根据复数的几何意义可得，结合向量的坐标运算求解；（3）根据题意将表示成的式子，将表示成的式子，运算求解即可.【详解】（1）由题意可知：．（2）因为，则点，可得，则，所以．（3）由题意可得：，所以.32．(1)(2)2【分析】（1）根据题意结合复数运算求解；（2）根据题意结合复数的四则运算和模长整理得，再结合正弦函数的有界性分析运算.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意可得：，所以，因为，所以，因此，所以的最大值为2.