2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷小题15　直线与圆（2份打包，原卷版+含解析）

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1．已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若l1⊥l2，则(3－a)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝－1，解得a＝1或a＝2.故a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件．
2．直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
答案 B
解析 直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝0，,y＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0，))所以直线恒过定点(2,0)，
因为22＋020，b0，所以ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立，即当a＝b＝eq \f(1,2)时，ab取最大值eq \f(1,4).
6．点P在单位圆上运动，则P点到直线l：(1＋3λ)x＋(1－2λ)y－(7＋λ)＝0(λ为任意实数)的距离的最大值为( )
A．2eq \r(3)＋1 B．6
C．3eq \r(2)＋1 D．5
答案 B
解析 将直线方程变形为l：(x＋y－7)＋(3x－2y－1)λ＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－7＝0，,3x－2y－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4，))所以直线过定点Q(3,4)，因为P在单位圆上运动，圆心O(0,0)，圆的半径r＝1，故原点到直线l距离的最大值为|OQ|＝eq \r(32＋42)＝5，则P点到直线l的距离的最大值为r＋|OQ|＝1＋|OQ|＝1＋5＝6.
7．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋eq \f(3\r(2),2) B．4
C．1＋3eq \r(2) D．7
答案 C
解析 方法一 令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3eq \r(2)≤k≤1＋3eq \r(2)，故x－y的最大值是3eq \r(2)＋1.
方法二 x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cs θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0,2π]，则x－y＝3cs θ－3sin θ＋1＝3eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＋1，
因为θ∈[0,2π]，所以θ＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(9π,4)))，则当θ＋eq \f(π,4)＝2π，即θ＝eq \f(7π,4)时，x－y取得最大值3eq \r(2)＋1，
方法三 由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝eq \f(|2－1－k|,\r(2))≤3，解得1－3eq \r(2)≤k≤1＋3eq \r(2).
故x－y的最大值为3eq \r(2)＋1.
8．)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α等于( )
A．1 B.eq \f(\r(15),4) C.eq \f(\r(10),4) D.eq \f(\r(6),4)
答案 B
解析 如图，设A(0，－2)，两切点分别为B，C，
由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝eq \r(5)，
所以圆心到A(0，－2)的距离为eq \r(2－02＋0＋22)＝2eq \r(2)，
由于圆心与A(0，－2)的连线平分∠BAC，所以sineq \f(∠BAC,2)＝eq \f(r,2\r(2))＝eq \f(\r(5),2\r(2))＝eq \f(\r(10),4)，
所以cs∠BAC＝1－2sin2eq \f(∠BAC,2)＝－eq \f(1,4)