江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了 等差数列前项和为，则， 已知，且，则的最小值是， 已知曲线在处切线方程为，则， 牛顿冷却定律， 函数的最大值为， 若，则， 设函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 下列函数是定义在上的增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 等差数列前项和为，则（ ）
A. 44B. 48C. 52D. 56
5. 已知，且，则的最小值是（ ）
A. 9B. 12C. 16D. 20
6. 已知曲线在处切线方程为，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 牛顿冷却定律（Newtn's law f cling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（ ）
A 33分钟B. 28分钟C. 23分钟D. 18分钟
8. 函数的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 设函数，则（ ）
A. 定义域为B. 图象关于原点对称
C. 在上单调递减D. 不存在零点
11. 已知数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A. 等比数列B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第1问2分，第2问3分.
12. 设是等比数列，且，则__________.
13. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________.
14. 设函数且.若为偶函数，则__________；若在上单调递增，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数为幂函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
16. 已知函数的定义域为，且对任意，都有.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）若，求的值.
17. 已知数列满足，且为等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 已知函数.
（1）试讨论单调性；
（2）若，，求的取值范围.
19. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称具有性质.
（1）试写出一个具有性质的一次函数；
（2）判断函数是否具有性质；
（3）若函数具有性质，求实数的取值范围.九江市2023—2024学年度下学期期末考试高
二数学试题卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，再根据交集的概念求解即可.
【详解】由已知，，
所以.
故选：.
2. 是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分，必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断.
【详解】若，可能为负数，不能推出，
若，则，可得，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
3. 下列函数是定义在上的增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本初等函数性质直接判断即可．
【详解】对于A为上的增函数；
对于为上的减函数；
对于C，在为减函数；
对于D，的定义域为.
故选：A
4. 等差数列前项和为，则（ ）
A. 44B. 48C. 52D. 56
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可
【详解】.
故选：C.
5. 已知，且，则的最小值是（ ）
A. 9B. 12C. 16D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】将条件等式化成，由，利用1的代换法和基本不等式即可求得最小值.
【详解】解：由，得，又，
所以
.
当且仅当时等号成立.
故选：B.
6. 已知曲线在处的切线方程为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导后运用导数几何意义解题即可．
【详解】，
将代入，得.
故选：D.
7. 牛顿冷却定律（Newtn's law f cling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（ ）
A. 33分钟B. 28分钟C. 23分钟D. 18分钟
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可．
【详解】解：依题意，得，
化简得，解得.
设这块面包总共经过分钟，温度降为30°，
则，化简得，
解得，
故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°，
故选：C.
8. 函数的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解法一：求出，令，根据的正负确定的单调性即可求解；
解法二：令，通过求导判断函数的单调性即可求解.
【详解】解法一：，则，
令，则在上单调递增，
且，，
故存在，使得，，即，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以.
解法二：，令，
则，因为，
所以时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
，即.
故选：.
【点睛】关键点点睛：求导之后，的零点存在，但无法求出，可采用虚设零点，分析零点所在的区间，结合函数的单调性即可推断.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A,C可取特殊值判断；对于B,D,直接运用指数对数函数单调性判断即可．
【详解】解：取，则，A，C错误；
由，得，B正确；
由，得，D正确.
故选：BD.
10. 设函数，则（ ）
A. 定义域为B. 图象关于原点对称
C. 在上单调递减D. 不存在零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】由可判断A；判断是否是奇函数可判断B；由复合函数的单调性可判断C；直接解方程可判断D.
【详解】解：由，得或，故的定义域是，A正确；
为奇函数，B正确；
令，则在上单调递增，而函数在定义域内单调递增，在上单调递增，C错误；
令，得无实数解，不存在零点，D正确.
故选：ABD.
11. 已知数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A. 为等比数列B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等比数列的定义可判断A选项，可得，再结合数列的递推公式可得，进而可判断B、C、D选项.
【详解】依题意可得，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故A选项正确；
则，
当时，，
当时，也满足，
所以，即，B选项错误；
，C选项正确；
又，，D选项正确；
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第1问2分，第2问3分.
12. 设是等比数列，且，则__________.
【答案】32
【解析】
【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，求得，即可求得答案.
【详解】设的公比为，则，
由，得，解得，
所以.
故答案为：32
13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】令得到，变形得到，令，，画出两图象如图所示，数形结合得到，求出答案.
【详解】由，得，因为，所以，
令，，画出两图象如图所示，
由图象结合题意得，即，
即的取值范围是.
故答案为：
14. 设函数且.若为偶函数，则__________；若在上单调递增，则的取值范围是__________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根据得到方程，求出，检验后得到结论；分，，或四种情况，结合指数函数单调性，导数，进行求解，得到答案.
【详解】为偶函数，
，即,
∴，经检验，此时为偶函数，
当时，在上单调递增，符合题意，此时.
当时，在上单调递减，不符合题意.
当或时，，
则需在上恒成立，
不妨设，则在上恒成立，
在上单调递增，
∴，即.
综上，的取值范围是.
故答案为：1，
【点睛】关键点点睛：恒成立问题，转化为恒成立，结合指数函数单调性，得到不等式，求出答案.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数为幂函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义可得，求解即可；
（2）由复合函数的单调性，得，求解即可.
【小问1详解】
由为幂函数，得，解得，
故.
【小问2详解】
，由复合函数的单调性，得，
解得.
故实数的取值范围为.
16. 已知函数的定义域为，且对任意，都有.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）若，求的值.
【答案】（1）是奇函数，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令得，令，得，从而可判断；
（2）令，得，利用等差数列的定义可得，再利用错位相减法即可求和.
【小问1详解】
是奇函数，理由如下：
令，得，
令，得，
又函数的定义域为，所以是奇函数；
【小问2详解】
令，得，
令，则，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
，
即为数列的前项和，设为，
则
，
两式相减，得，
，即.
17. 已知数列满足，且为等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知关系式，利用等比数列定义求通项公式即可；
（2）利用裂项法求解前项和.
【小问1详解】
由题意，得，由，得.
为等比数列，且公比，
【小问2详解】
由（1）得，
18. 已知函数.
（1）试讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求，分和两种情况讨论导函数的正负即可；
（2）解法一：结合（1）分，，三种情况根据单调性求解的取值范围；
解法二：先取，先找到的一个必要条件，再证充分性.
【小问1详解】
，
当时，因为，
所以在上单调递减，
当时，，
令，得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
解法一：①当时，由（1）知在上单调递减，
所以，不符合题意，舍去，
②当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意，舍去，
③当时，由（1）知在上单调递增，
所以，符合题意，
综上所述，的取值范围是.
解法二：注意到，
①先找到的一个必要条件，
因为，所以要使时，，
则，即，
②再证充分性，
若，则，所以在上单调递增，
所以，满足题意，
当时，由（1）知在上单调递减，，不满足题意，
当时，由（1）知上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意，舍去，
综上所述，的取值范围是.
19. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称具有性质.
（1）试写出一个具有性质的一次函数；
（2）判断函数是否具有性质；
（3）若函数具有性质，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数具有性质P
（3）
【解析】
【分析】（1）设，根据多项式相等可得答案；
（2）由得，令，利用导数判断出在上的单调性，结合特殊点的函数值和已知定义可得答案；
（3）解法一：由化简得，令，利用导数判断出在上的单调性，结合值域可得答案；
解法二：由化简得，转化为与的图象有交点，判断出在上的单调性，结合值域可得答案.
【小问1详解】
设，
由，得，即，
；
【小问2详解】
由，得，
即，
令，则在上单调递增，
又，故存在，
使得，即，
故函数具有性质；
小问3详解】
解法一：由，
得，
化简得，
令，则，
令，则在上单调递增，
且，
，即在上单调递减.
又当时，；当时，，
，即，故实数的取值范围是；
解法二：由，得，
化简得，
即与的图象有交点，
在上单调递减，且当时，；
当时，，
，即，故实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题是在新定义下对函数的综合考查，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题.