广东省湛江市第二中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份广东省湛江市第二中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分，考试时间：120分钟）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣2≤x≤3}
2．下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是（ ）
A．y＝cs（x﹣π）B．y＝cs（2x+）
C．y＝x3D．y＝sin|x|
3．已知角A是△ABC的内角，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若a2＞b2，则a＞b
C．若，则a＜bD．若，则a＞b
5．若函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ的值等于（ ）
A．2B．C．﹣2D．﹣
6．若函数f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]B．C．D．
7．设a＝，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
8．我们知道：y＝f（x）的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y＝f（x）的图像关于（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝f（x+a）﹣b为奇函数，若f（x）＝x3﹣3x2的对称中心为（m，n），则f（2022）+f（2021）+f（2020）+⋯+f（1）+f（0）+f（﹣1）+⋯+f（﹣2018）+f（﹣2019）+f（﹣2020）＝（ ）
A．﹣8086B．﹣8084C．8084D．8086
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若csθ•tanθ＞0，则角θ的终边可能落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．下列结论正确的是（ ）
A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数
B．函数的定义域为（1，+∞）
C．若函数y＝lg2023（x2+x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为
D．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，3]，则y＝f（x）+f（﹣x）的定义域为[﹣1，1]
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．函数f（x）的值域是R
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．不等式f（x）＜1的解集是（﹣2，﹣1）∪（3，4）
12．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．∃α∈R，使得f（α）＝f（﹣α）＝1
B．∃α∈R，使得
C．∀x∈R，都有
D．∀x∈R，都有
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f（x）＝lg（x﹣2）的定义域是 .
14．已知函数，则f（f（π））＝ ．
15．若函数在上单调递增，则ω的取值范围是 ．
16．已知函数f（x）＝|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）＝f（b），则u＝2a+b的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．（本小题10分）计算．
（1）；
（2）已知，求的值．
18．（本小题12分）已知函数f（x）＝2csx（sinx+csx）﹣1．
（1）求函数y＝f（x）的周期及单调递增区间；
（2）求函数y＝f（x）在区间上的值域．
19．（本小题12分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x（天）的函数关系近似满足为正常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如表所示：
已知第10天的日销售收入为121（百元）．
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax+b，②Q（x）＝a|x﹣25|+b，③Q（x）＝a•bx，④Q（x）＝a•lgbx．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该服装的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N）的最小值．
20．（本小题12分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的x∈R，不等式f（x2﹣x）+f（x2﹣m）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
21．（本小题12分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）＝af1（x）+bf2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（1）设f1（x）＝lg2x，，a＝2，b＝1，生成函数h（x）．若不等式2h2（x）+3h（x）+t＜0在x∈[2.4]上有解，求实数t的取值范围．
（2）设函数，g2（x）＝x﹣1，是否能够生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2lg25﹣2，若能够生成，则求函数h（x）的解析式，否则说明理由．
22．（本小题12分）已知函数f（x）＝4﹣msinx﹣3cs2x（m∈R）．
（1）若关于x的方程f（x）＝0在区间（0，π）上有三个不同解x1，x2，x3，求m与x1+x2+x3的值；
（2）对任意x∈[，π]，都有f（x）＞0，求m的取值范围．
湛江市第二中学2022-2023学年度第一学期期末考试
高一数学试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟）
（参考答案）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣2≤x≤3}
【分析】先求出集合A，再利用并集的运算求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，
∴A∪B＝{x|﹣2≤x≤3}，
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是（ ）
A．y＝cs（x﹣π）B．y＝cs（2x+）
C．y＝x3D．y＝sin|x|
【分析】由题意利用三角函数的周期性、奇偶性，逐一判断，从而得出结论．
【解答】解：∵y＝cs（x﹣π）＝﹣csx，是偶函数又是周期函数，故A满足条件；
y＝cs（2x+）是非奇非偶函数，故排除B；
y＝x3不是周期函数，故排除C；
y＝|sinx|不是周期函数，故排除D，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性、奇偶性，属于基础题．
3．已知角A是△ABC的内角，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【分析】求出角的大小，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：在三角形中由，得或，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值求出角是解决本题的关键，是基础题．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若a2＞b2，则a＞b
C．若，则a＜bD．若，则a＞b
【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，又c2＞0，则a＞b，故A正确，
对于B，若a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2，但是a＜b，故B错误，
对于C，若，则a＞b，故C正确，
对于D，若a＝﹣2，b＝1，满足，但是a＜b，故D错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
5．若函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ的值等于（ ）
A．2B．C．﹣2D．﹣
【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
【解答】解：令x+1＝0，求得x＝﹣1，y＝﹣2，
可得函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（﹣1，﹣2），
∵点P在角θ的终边上，则tanθ＝＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查指数函数的特殊点，属于基础题．
6．若函数f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]B．C．D．
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．
【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax+1，
则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，
则满足，即，
得a≤，
即实数a的取值范围是，
故选：C．
【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键．
7．设a＝，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
【分析】利用对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a＝＜0，b＝lg34＞1，c＝lg32∈（0，1），
∴b＞c＞a．
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．我们知道：y＝f（x）的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y＝f（x）的图像关于（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝f（x+a）﹣b为奇函数，若f（x）＝x3﹣3x2的对称中心为（m，n），则f（2022）+f（2021）+f（2020）+⋯+f（1）+f（0）+f（﹣1）+⋯+f（﹣2018）+f（﹣2019）+f（﹣2020）＝（ ）
A．﹣8086B．﹣8084C．8084D．8086
【分析】由已知题意先求出f（x）的对称中心，然后结合对称轴，利用整体思想即可求解．
【解答】解：令g（x）＝f（x+1）+2，则g（x）＝（x+1）3﹣3（x+1）2+2＝x3﹣3x，
所以g（﹣x）＝﹣x3+3x＝﹣g（x），
则g（x）为奇函数，
所以f（x）的图象关于（1，﹣2）对称，即f（x）+f（2﹣x）＝﹣4，
故f（2022）+f（﹣2020）＝f（2021）+f（﹣2019）＝•••＝f（2）+f（0）＝﹣4，
因为f（1）＝﹣2，
所以f（2022）+f（2021）+f（2020）+⋯+f（1）+f（0）+f（﹣1）+⋯+f（﹣2018）+f（﹣2019）+f（﹣2020）＝2021×（﹣4）﹣2＝﹣8086．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的对称性在函数求值中的应用，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若csθ•tanθ＞0，则角θ的终边可能落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】当csθ•tanθ＞0，则csθ与tanθ同号，从而可判断．
【解答】解：当csθ•tanθ＞0，则csθ与tanθ同号，
角θ的终边可能落在第一或第二象限．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了三角函数值符号的确定，属于基础题．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数
B．函数的定义域为（1，+∞）
C．若函数y＝lg2023（x2+x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为
D．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，3]，则y＝f（x）+f（﹣x）的定义域为[﹣1，1]
【分析】举例说明A错误；求出函数的定义域判断BD；把问题转化为x2+x+a能取到大于0的所有实数，求解a的范围判断C．
【解答】解：对于A，两个函数的定义域与值域相同，这两个函数不一定为同一个函数，如函数y＝x与y＝x3，故A错误；
对于B，由x﹣1＞0，得x＞1，则函数的定义域为（1，+∞），故B正确
对于C，若函数y＝lg2023（x2+x+a）的值域为R，则x2+x+a能取到大于0的所有实数，
∴Δ＝1﹣4a≥0，即a≤，可得实数a的取值范围为，故C错误；
对于D，函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，3]，由，得﹣1≤x≤1．
∴y＝f（x）+f（﹣x）的定义域为[﹣1，1]，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，是基础题．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．函数f（x）的值域是R
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．不等式f（x）＜1的解集是（﹣2，﹣1）∪（3，4）
【分析】由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：由于函数＝lg5（x+1）（x﹣3），
故函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞），故A错误；
由于真数能取遍所有的正数，故它的值域为R，故B正确；
由于真数为二次函数，且图象关于x＝1对称，故函数f（x）的图象关于x＝1对称，故C正确；
不等式f（x）＜1，即 lg5（x+1）（x﹣3）＜1，∴0＜x2﹣2x﹣3＜5，
求得﹣2＜x＜﹣1 或3＜x＜4，故D正确，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查复函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
12．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．∃α∈R，使得f（α）＝f（﹣α）＝1
B．∃α∈R，使得
C．∀x∈R，都有
D．∀x∈R，都有
【分析】直接利用余弦型函数性质的应用和函数的关系式的变换的应用求出结果．
【解答】解：由于，对于A：根据关系式：，故不存在f（α）＝f（﹣α）＝1，故A错误；
对于B：当α＝0时，，故B正确；
对于C：f（x﹣）+f（﹣x）＝，当x＝0时，f（﹣）+f（0）＝1，故C错误；
对于D：f（x﹣）＝cs2x，f（﹣x﹣）＝cs（﹣2x）＝cs2x，故D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f（x）＝lg（x﹣2）的定义域是 （2，+∞） .
【分析】根据函数的基本性质得到并求解x﹣2＞0即可。
【解答】解：∵函数f（x）＝lg（x﹣2）有意义，
∴x﹣2＞0，
∴x＞2，
∴函数f（x）＝lg（x﹣2）的定义域是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）。
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，解题的关键在于掌握函数的基本性质和数值运算，为基础题。
14．已知函数，则f（f（π））＝ 1 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，则f（π）＝sinπ＝0，
则f（f（π））＝f（0）＝cs0＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．
15．若函数在上单调递增，则ω的取值范围是 （0，] ．
【分析】依题意可得，解之可得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数在上单调递增，
∴，
解得0＜ω≤，
故答案为：（0，]．
【点评】本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
16．已知函数f（x）＝|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）＝f（b），则u＝2a+b的最小值为 3﹣2 ．
【分析】作出函数f（x）的图象，由a＜b＜1且f（a）＝f（b），可求得（a﹣1）2+（b﹣1）2＝8，a＜﹣1，0＜b＜1，利用直线和圆的位置关系，结合线性规划的知识进行求解即可．
【解答】解：作出f（x）的图象如图，由图可知，f（x）的对称轴为：x＝1．
∵a＜b＜1且f（a）＝f（b）
∴a＜﹣1，﹣1＜b＜1，
则|a2﹣2a﹣3|＝|b2﹣2b﹣3|，
即a2﹣2a﹣3＝﹣（b2﹣2b﹣3），
则（a﹣1）2+（b﹣1）2＝8，a＜﹣1，﹣1＜b＜1，
则（a，b）的轨迹是圆上的一个部分，（黑色部分），
由u＝2a+b得b＝﹣2a+u，
平移b＝﹣2a+u，当直线b＝﹣2a+u和圆在第三象限相切时，截距最小，此时u最小，
此时圆心（1，1）到直线2a+b﹣u＝0的距离d＝，
即|u﹣3|＝2，
得u＝3﹣2或u＝3+2（舍），
故答案为：3﹣2
【点评】本题考查带绝对值的函数，作出函数f（x）结合已知求得（a﹣1）2+（b﹣1）2＝8，a＜﹣1，0＜b＜1，利用线性规划以及直线和圆相切的位置关系是解决本题的关键．渗透化归思想与数形结合思想，综合性较强，有一定的难度．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．计算．
（1）；
（2）已知，求的值．
【分析】（1）利用有理数指数幂和对数的运算性质求解．
（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝＝＝10+．
（2）∵sinα＝﹣，csα＝，
∴tanα＝﹣，
则原式＝＝＝＝＝﹣10．
【点评】（1）主要考查了有理数指数幂的运算性质，以及对数的运算，是基础题．
（2）考查了运用诱导公式化简求值，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
18．已知函数f（x）＝2csx（sinx+csx）﹣1．
（1）求函数y＝f（x）的周期及单调递增区间；
（2）求函数y＝f（x）在区间上的值域．
【分析】（1）先利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，然后利用正弦函数的单调性整体代换即可求解；（2）利用x的范围求出2x+的范围，然后利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：，
（1）当，
即，k∈Z时，函数y＝f（x）单调递增，
故函数y＝f（x）的单调递增区间为；
（2）∵，∴，
∴，∴，
即函数y＝f（x）的值域为．
【点评】本题考查了三角函数的单调性以及值域的求解问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
19．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x（天）的函数关系近似满足为正常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如表所示：
已知第10天的日销售收入为121（百元）．
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax+b，②Q（x）＝a|x﹣25|+b，③Q（x）＝a•bx，④Q（x）＝a•lgbx．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该服装的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N）的最小值．
【分析】（1）利用f（10）＝P（10）•Q（10），可求k的值；
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，从表中任意取两组值代入可求得结论；
（3）求出函数f（x）的解析式，分段求最值，即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意有：f（10）＝P（10）•Q（10），
即，所以k＝1． …（2分）
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，
故只能选②Q（x）＝a|x﹣25|+b．…（4分）
从表中任意取两组值代入可求得：Q（x）＝﹣|x﹣25|+125＝125﹣|x﹣25|． …（6分）
（3）∵，
∴． …（8分）
①当1≤x＜25时，在[1，10]上是减函数，在[10，25）上是增函数，
所以，当x＝10时，f（x）min＝121（百元）． …（10分）
②当25≤x≤30时，为减函数，
所以，当x＝30时，f（x）min＝124（百元）． …（11分）
综上所述：当x＝10时，f（x）min＝121（百元）． …（12分）
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查函数的最值，属于中档题．
20．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的x∈R，不等式f（x2﹣x）+f（x2﹣m）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由f（x）是奇函数可得f（0）＝0，求出a的值，再验证此时f（x）是奇函数；
（2）f（x）先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数f（x）在R上单调递增；
（3）等价于m＜2x2﹣x恒成立，求函数的最小值即得解．
【解答】解：（1）因为函数的定义域为R，所以f（0）＝﹣＝0，∴a＝1．
经检验当a＝1时，f（x）＝＝，
f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），
所以a＝1．
（2）f（x）＝＝1﹣＝，
函数在定义域内单调递增，证明如下：
设x1＞x2，所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，
因为＞，所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）是奇函数，由已知可得f（x2﹣x）+f（x2﹣m）＞0，
所以f（x2﹣x）＞﹣f（x2﹣m）＝f（﹣x2+m），
所以x2﹣x＞﹣x2+m，∴m＜2x2﹣x，
设g（x）＝2x2﹣x，当g（x）min＝2×﹣＝﹣．
所以m＜﹣，即m∈（﹣∞，﹣）．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的定义及应用，考查了函数恒成立问题的求解，是中档题．
21．对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）＝af1（x）+bf2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（1）设f1（x）＝lg2x，，a＝2，b＝1，生成函数h（x）．若不等式2h2（x）+3h（x）+t＜0在x∈[2.4]上有解，求实数t的取值范围．
（2）设函数，g2（x）＝x﹣1，是否能够生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2lg25﹣2，若能够生成，则求函数h（x）的解析式，否则说明理由．
【分析】（1）根据题意新定义得到h（x）的解析式，然后将问题转化为t＜﹣2h2（x）﹣3h（x）＝﹣2（lg2x）2﹣3lg2x在x∈[2.4]上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；
（2）利用待定系数法设h（x）＝mlg2（4x﹣1+1）+n（x﹣1），根据h（﹣x+1）＝h（x+1），得到﹣2mx＝2nx对任意x恒成立，从而得到m＝﹣n，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，f1（x）＝lg2x，，a＝2，b＝1，所以h（x）＝2f1（x）++2lg2x＝lg2x，
不等式2h2（x）+3h（x）+t＜0在x∈[2.4]上有解，
等价于t＜﹣2h2（x）﹣3h（x）＝﹣2（lg2x）2﹣3lg2x在x∈[2.4]上有解，
令s＝lg2x，则s∈[1，2]，
由y＝﹣2（lg2x）2﹣3lg2x＝﹣2s2﹣3s在[1，2]上单调递减，
所以当s＝1时，y取得最大值﹣5，故t＜﹣5，
即t∈（﹣∞，﹣5）；
（2）设h（x）＝mlg2（4x﹣1+1）+n（x﹣1），则h（x+1）＝mlg2（4x+1）+nx，
由h（﹣x+1）＝h（x+1），得mlg2（4﹣x+1）﹣nx＝mlg2（4x+1）+nx，
整理得mlg2（）＝2nx，即得mlg24﹣x＝2nx，
即﹣2mx＝2nx对任意x恒成立，
所以m＝﹣n．
所以h（x）＝mlg2（4x﹣1+1）﹣m（x﹣1）＝m[lg2（4x﹣1+1）﹣（x﹣1）]＝m[lg2（4x﹣1+1）﹣lg22x﹣1]＝m（lg2），
设y＝，x≥2，
令2x﹣1＝u（u≥2），则y＝＝u+，
由对勾函数的性质可知y在（0，1）单调递减，（1，+∞）上单调递增，
∴y＝在[2，+∞]单调递增，
∴y＝，且当u＝2时取到“＝”．
∴lg2≥lg2＝lg25﹣1，
又h（x）在区间[2，+∞）的最小值为2（lg25﹣1），
∴m＞0，且m＝2，此时，n＝﹣2．
所以h（x）＝2lg2（4x﹣1+1）﹣2x+2．
【点评】本题属新定义函数问题，考查了对函数性质、恒成立、存在性问题、求值域等问题，也考查了转化思想，关键点是能够正确读懂题意，理解其本质，属于难题．
22．已知函数f（x）＝4﹣msinx﹣3cs2x（m∈R）．
（1）若关于x的方程f（x）＝0在区间（0，π）上有三个不同解x1，x2，x3，求m与x1+x2+x3的值；
（2）对任意x∈[，π]，都有f（x）＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）利用换元法结合二次函数的对称性进行求解即可．
（2）利用参数分离法进行转化求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝4﹣msinx﹣3cs2x＝4﹣msinx﹣3（1﹣sin2x）＝3sin2x﹣msinx+1，
设t＝sinx，则在区间（0，π）上，0＜t≤1，
则函数等价为y＝3t2﹣mt+1，
若方程f（x）＝0有三个不同解x1，x2，x3，
则方程3t2﹣mt+1＝0有两个不同的根，其中t1＝1，0＜t2＜1，
则3﹣m+1＝0，得m＝4，
由sinx＝1得x3＝，
由sinx＝t2，知两个解x1，x2，关于x＝对称，
即x1+x2＝2×＝π，
则x1+x2+x3＝π+＝．
（2）当x∈[，π]时，t∈[﹣，1]，
要使f（x）＞0恒成立，即得3t2﹣mt+1＞0，得3t2+1＞mt，
当t＝0时，不等式恒成立，
当t＞0时，m＜3t+恒成立，
∵3t+≥2＝2，当且仅当3t＝，即t＝时取等号，∴此时m＜2，
当t＜0时，m＞3t+，
当t∈[﹣，0）时，函数y＝3t+为减函数，
则当t＝﹣时，y＝﹣﹣2＝﹣，
此时m＞﹣，
综上实数m的取值范围是（﹣，2）．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合二次函数的对称性进行求解是解决本题的关键，是中档题．
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