[数学][期末]福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查试题

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1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
则.
故选：A
2. 投掷一个骰子，记事件，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，，，则，
所以.故选：D
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
令，所以该函数在，
当时，，函数为增函数；
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数；
当时，，函数为减函数；
故函数有两个极大值，一个极小值，所以答案为D.
故选：D
4. 如图，在平行六面体中，M为的交点．若，，，则向量＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵在平行六面体中，M为的交点．
若，，，
∴向量.
故选：A．
5. 已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取中点，连接，
在直三棱柱中，，
因为分别为，的中点，
所以，，即四边形为平行四边形，
所以，为异面直线与所成的角，
因为，，
所以，，，
在直三棱柱中，，所以，
，在中，由余弦定理可得，
.
故选：B
6. 已知甲、乙盒子各装有形状大小完全相同的小球，其中甲盒子内有2个红球，1个白球；乙盒子内有3个红球，2个白球．若第一次先从甲盒子内随机抽取1个球放入乙盒子中，则第二次从乙盒子中抽1个球是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记为从甲盒子中取出一个红球，为从甲盒子中取出一个红球，为从乙盒子中取出一个红球，
所以，，，，
所以.
故选：C
7. ，，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，
根据题干条件，，
即，故，为常数，
即，于是，
整理可得，
令，整理可得，
解得.
故选：D
8. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，，令且，
则，故上，此时单调递增，故，
所以，
令且，则，即此时单调递增，
所以，则，
令得：，故，则，
综上．
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B. 运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心
C. 在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大
D. 利用独立性检验推断“与是否有关”，根据数据算得,已知，，则有超过的把握认为与无关
【答案】AB
【解析】对于A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故A正确；
对于B：运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心，故B正确；
对于C：在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越小，故C错误；
对于D：因为，所以有超过的把握认为与有关，故D错误；
故选：AB
10. 若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值，
若函数在区间内有最小值，
此时，解得，
当，即时，
整理得，解得或，
所以，
综上，满足条件的取值范围为，．
故选：CD．
11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数的单调减区间为，
C. 若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D. 若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
【答案】ABD
【解析】当时，，在单调递减，且渐近线为和，
当时，，，
则在单调递增，在单调递减，
且，时，当时，，
作出图象如下图所示，
对于A，函数的值域为，故A正确；
对于B，函数的单调减区间为，，故B正确；
对于C，若关于x的方程有3个不相等的实数根，
则或共有3个不相等的实数根，
又因为解得或，所以与有1个公共点，
所以或，故C错误.
对于D，若关于x的方程有6个不相等的实数根，
即或有6个不相等实数根，
又因为解得或，所以与有4个公共点，
作出图象如下图所示，
显然实数a的取值范围是，故D正确.
故选：ABD
12. 在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 当线段MN取最小值时，
D. 当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为
【答案】BCD
【解析】因为点N满足，其中，，
则点N在正方形内（包括边界），
又因为∥，则异面直线BN与所成角即为，
可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，
所以A错误；
因为
且，所以点M在线段上（包括端点），
因为平面，平面，则，
又因为为正方形，则，
，平面，
所以平面，
且平面，所以，所以B正确；
因为，当且仅当三点共线时，等号成立，
又因为当时，取到最小值，此时是的中点时，
结合对称性可知：当是的中点时，也为圆弧的中点时，
则，
所以，
即，所以，故C正确；
当时，则，即与重合，
与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，
因为平面，且平面，所以，
同理可证：，
且，平面，所以平面，
而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，
所以截面面积的最大值为，故D正确．
故选：BCD.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知空间向量，，若，则________．
【答案】
【解析】空间向量，，
且
即
，故答案为：.
14. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为________．
【答案】
【解析】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，
即求，
根据题意得，，，
则.
故答案：.
15. 在棱长为2的正方体中，P是侧面上的动点，且满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】以为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，设.
则，
故，，
由可得，
解得，
故的轨迹是线段，
则的最小值为到线段的距离.

故答案为：
16. 函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】法一：依题意：在上恒成立，
设，，则，
令，，则在上单调递增，
又，，
所以使，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
所以，由得，，
设，，则，，
所以上单调递增，所以，即，，
故，所以，
解得，即实数的取值范围为；
法二：，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
即，当且仅当时取“”，令，，
即，，
当，即时，，此时不等式恒成立；
当，即时，设，在上单调递增，，，，使，
即，
所以与恒成立矛盾，故舍去，
综上可得．
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数.
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间.
解：（1）因为所以，
所以，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为：；
（2）由函数在处取得极值可知：
，即，解得：，
此时，，，
当，时，，
当时，，
所以符合题意.
综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．

（1）求证：平面PAD；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．
解：（1）如图所示，取中点，连接．
因为分别为的中点，所以，且．
又由已知，可得且，所以四边形为平行四边形，
所以 又因为平面，平面．所以平面．
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则．由为棱的中点，得．
向量，．
设为平面的法向量，则．
不妨令，得，即为平面的一个法向量．
又向量，
设直线与平面所成角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19. 第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）．
（1）由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求；
（2）预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望．
附：若，则，，；．
解：（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：
，
又由，，
．
（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数，
的概率分布列为
的数学期望为．
20. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．

（1）求证：；
（2）若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：（1）,E是的中点，

又平面平面，
平面平面，
且平面．
平面．
又平面，
．
（2）在直三棱柱中，平面．
又平面，
．
又，
平面且，
平面．
又平面
平面．平面，
、
从而可得两两垂直．
所以如图以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

的面积为，且矩形中
可得解得．
则，
．
设，．
又，设平面的法向量，
则，不妨取，则，
∴，
由（1）平面，∴平面的一个法向量，
．
解得,
又可知
又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意，
综上，在上存在一点D，此时，使得二面角的大小为．
21. 三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图．
表中，．
（1）（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．
（2）此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．
附：对于样本（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
解：（1）（ⅰ）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次关于活动推出天数的回归方程类型．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得，
令．则由题意知，
又，
所以，
所以，
所以，
，，
则关于的回归方程为．
（2）依题意服从超几何分布，
当时，，
当时，，记，
则，
由解得，
所以当时，
当时，
当时，
故当或时最大，所以的估计值为．
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，且是的两个零点，，证明：．
解：（1），
①若，则，即在单调递减，
②若，令，有，令，有，
即在单调递减，在单调递增，
综上：，在单调递减，
若，在单调递减，在单调递增．
（2），
令得：，
因为，，
因为是的两个零点，
所以，，
所以，
，
要证明，
只需证，
即证明
变形为，令，
则证明，
设，，在单调递增，
所以，即，
设，，在单调递减，
所以，，即，，
综上：．
分组（百分制）
频数
频率
10
0.1
20
0.2
30
0.3
25
0.25
15
0.15
合计
100
1
0
1
2
x（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（人次）
12
22
42
68
132
202
392
4.24
870
5070
134.82
140
6.96
1.78