[数学][期末]福建省福州市八县(市)协作校2022-2023学年高二下学期期末联考试题(解析版)

这是一份[数学][期末]福建省福州市八县(市)协作校2022-2023学年高二下学期期末联考试题(解析版)，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
因为，所以.
故选:B.
2. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A. -IB. C. -1D. 1
【答案】C
【解析】设，
因为，
所以，
故，
得到，
故选为：C.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
.
故选：A
4. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有 1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．若“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，，，，，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：D.
5. 已知p：，q：，则p是q的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】D
【解析】取，满足，但不成立，故充分性不成立；
取，满足，但不成立，故必要性不成立.
所以p是q的既不充分也不必要条件.
故选:D.
6. 已知四边形ABCD是平行四边形，， 若EC与BD交于点O，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，所以，
因为三点共线，所以，得.

故选：A
7. 设点、分别是椭圆的左、右焦点，点、在上（位于第一象限）且点、关于原点对称，若，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如下图所示：

由题意可知，为、中点，则四边形为平行四边形，则，
又因为，则四边形为矩形，
设，则，所以，
由勾股定理可得，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：B.
8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，
则.
令，
则,
所以函数在上单调递增，所以,即,
所以在上单调递增,所以,
所以,即，
即.
设,
所以,
所以在上单调递增,
所以,
所以,即,即,即.
综上所述，.故选:C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则的最小值是2
【答案】BC
【解析】选项A，当，，故选项A错误；
选项B，因为，，所以，由不等式性质知，，故选项B正确；
选项C，，，所以，由不等式性质知，，故选项C正确；
选项D，因为，，当且仅当时取等号，所以等号取不到，选项D错误.
故选：BC.
10. 已知圆O：和圆M：相交于A，B两点，点C是圆M上的动点，定点P的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆M的圆心为，半径为1
B. 直线AB的方程为
C. 线段AB的长为
D. 的最大值为6
【答案】BCD
【解析】选项A，因为圆M的标准方程为，
所以圆心圆心为，半径为1，故选项A错误；
选项B，因为圆O：和圆M：相交于A，B两点，
两圆相减得到，即，故选B正确；
选项C，由选项B知，圆心到直线的距离为，
所以，故选项C正确；
选项D，因为,，所以，又圆的半径为1，
故的最大值为，故选项D正确.
故选项：BCD.
11. 已知，函数，下列选项 正确的有（ ）
A. 若的最小正周期，则
B. 当时，函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像
C. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】选项A，由余弦函数图像与性质，可得，又，所以得，
所以选项A正确；
选项B，当时，可得，
将函数的图象向右平移个单位长度后得
，所以选项B错误；
选项C，若在区间上只有一个零点，由，
得到解得，所以，得到，所以C正确,
选项C，若在区间上单调递增，则，
解得，
又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以D错误；
故选：AC．
12. 在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 过点、、的平面截正方体所得的截面周长为
C. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的体积为
D. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，因为，所以，异面直线与所成角为，
因为，则，
，故异面直线与所成角的余弦值为，A对；
对于B选项，延长分别交直线、于点、，
连接交于点，连接交于点，连接、，
故过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形，因为，
则，则，
因为，则，则，，
因为，，，
则，故，
同理可得，
因为，，，
则，
同理可得，
又因为，
因此，五边形的周长为，B对；
对于C选项，因为平面，，
将三棱锥补成长方体，如下图所示：
其中，，
则长方体的外接球直径为，
故，因此，三棱锥的外接球的体积为，C错；
对于D选项，分别取、、的中点、、，
连接、、、、，
因为且，点、分别为、的中点，所以，且，
故四边形为平行四边形，则且，
又因为且，所以，且，
故四边形为平行四边形，所以，且，
因为且，、分别为、的中点，
所以，且，故四边形为平行四边形，则，
所以，，
又因为平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，
因为，、平面，
所以，平面平面，
因为平面，且平面，
则当时，平面，则有平面，
因为，
同理可得，，
当时，即当点为的中点时，的长取最小值，
此时，，D对.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 平潭城关中学校团委准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为______．
【答案】
【解析】从3名男生和2名女生中随机选取两人，
基本事件总数，
两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数，
则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是．故答案为:．
14. 请写出一个同时满足下列个条件的函数：______．
①；②；③在上单调递增；
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，则该函数的定义域为，
对于①，，①满足；
对于②，，②满足；
对于③，当时，，
则，
所以，函数在上单调递增，③满足.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为______．（用表示）
【答案】
【解析】因为向量，的夹角为，且，，
所以，
向量在向量上的投影向量为.
故答案为:.
16. 已知函数存在唯一的极值点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
且，
依题意可得存在唯一的变号正实根，
即存在唯一的变号正实根，
当时，，方程只有唯一变号正实根，符合题意，
当，方程，即没有除之外的正实根，
令，则，
所以当时，，
当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得
此时，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则函数存在唯一的极值点，合乎题意.
综上可得.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
17. 已知数列满足，．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列落入区间的所有项的和．
解：（1）由，可知，，得，且，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
所以，即；
（2）由题意，即，
解得：，即，
故落入区间的项为，
所以其和
.
18. 为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，平潭某旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了500名游客，根据这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中x的值和第80百分位数；
（2）为了解部分游客给餐饮服务工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的游客中用分层抽样的方法随机选取30人作进一步调查， 求应选取评分在的游客人数；
（3）若游客的“认可系数”（）不低于0.85．餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改根据你所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改， 井说明理由．
解：（1）由图可知：，解得.
因为内的频率为，
所以第百分位数位于区间内，设为，
所以，解得，
所以第百分位数为.
（2）低于分的学生中三组学生的人数比例为，
则应选取评分在的学生人数为：（人）；
（3）由图可知，认可程度平均分为：
，
所以“餐饮服务工作”需要进一步整改.
19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）证明：；
（2）若，，，求AM的长度．
解：（1）由，
得，
则，
由正弦定理和余弦定理得：，
化简得；
（2）如图：

在中，，
又因为，所以，
所以，
所以，
由，得，
在中，
，
所以.
20. 如图，三棱台中，，D是AC的中点，E是棱BC上的动点．

（1）若平面，确定的位置.
（2）已知平面ABC，且．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最大值．
解：（1）连接,

由三棱台中，是的中点可得,所以四边形为平行四边形，故,
平面, 平面,故平面,
又平面，且平面， ，
所以平面平面，又平面平面,
平面平面,故,
由于是的中点,故是的中点，
故点在边的中点处，平面;
（2）因为平面，平面,
所以,又平面,
故平面,由于平面,所以 ,
由（1）知：在边的中点，是的中点,
所以,进而，
连接,由
所以四边形为平行四边形，
故 ,由于平面，因此平面，
故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系；设，

则，
故 ，
设平面的法向量为，
则，取，则，又，
故，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
21. 如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．

（1）建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
（2）过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上．
解：（1）如图，连接交于点，以点为坐标原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，

则，，即，，
，，直线方程：，
，则，，则，解得，，
双曲线.
（2）由题意，直线的斜率存在，则其方程可设为，
联立可得，消去可得：，
，，化简得，
设，则，，
，，，，，
设，，，
，，则，，
，
，
，，
，解得，
由，，则在同一直线上，即，
故在直线上.
22. 已知函数，其中、．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）已知、是函数的两个零点，且，证明：．
解：（1）若，即，
可得，
①若，则，即的减区间为，无增区间；
②若，令得，令可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）由题意知、是的两个零点，且，
即，，
所以，即，
要证：，只需证：，
即证：，即证：，令，
即证：，
令，可得，
即在上单调递增，则，即，
设，有，
所以在上单调递减，则，即.
综上可得：.