[数学][二模]江苏省镇江市丹阳市2024年中考二模试题(解析版)

这是一份[数学][二模]江苏省镇江市丹阳市2024年中考二模试题(解析版)，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的倒数是________．
【答案】2024
【解析】的倒数是2024，
故答案为：2024．
2. 使有意义的x的取值范围是________．
【答案】
【解析】有意义，
，解得．
故答案为：．
3. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
4. 一副三角板如图放置，，，，则______°．
【答案】75
【解析】∵，
，
，
，
，
．
故答案为：75．
5. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是______．
【答案】16
【解析】一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4，
布袋中红球的个数大约是（个；
故答案为：16．
6. 如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则______°．
【答案】
【解析】如图，连接．

∵直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7. 一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是__________cm．
【答案】4
【解析】扇形的弧长为，
解得，，
故答案为：4．
8. 抛物线与轴只有一个交点，则满足的条件是__________．
【答案】
【解析】∵抛物线与轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：
9. 已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则、、的大小关系是_______．（用“<”连接）
【答案】
【解析】，
反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小，
，
，即，
故答案为：．
10. 刘徵是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆（半径为r）的内接正八边形的面积来估计这个圆的面积，则估计值比圆的实际面积少________（用含r的代数式表示）
【答案】
【解析】如图，过点作于点，由题意可知正八边形内接于，
正八边形内接于，
，
在中，，，
，
，
这个估计值比圆的实际面积少．
故答案为：．
11. 直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是________．
【答案】或
【解析】将代入一次函数解析式得，，
所以点的坐标为．
将代入一次函数解析式得，，
解得，
所以点的坐标为．
当点绕点逆时针旋转时，如图所示，
因为点的坐标为，点的坐标为，
所以，，
在中，
，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以点和点关于轴对称，
所以点的纵坐标为．
当点绕点顺时针旋转时，如图所示，
在中，
，
由旋转可知，
，，
所以，
即轴，
所以点的纵坐标为．
综上所述，点绕点旋转后对应点的纵坐标是或．
故答案为：或．
12. 如图，点A、B、C、D在网格中的格点上，与相交于点O，小正方形的边长为1，则等于________．
【答案】3
【解析】如下图：连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵ ， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．）
13. 2024年春节假期我市旅游总收入31.63亿元，同比增长．将数据3163000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将数据3163000000用科学记数法表示为，
故选：B．
14. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故选C．
15. 我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意为：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形的边长是（ ）
A. 步B. 步C. 步D. 步
【答案】D
【解析】设正方形的边长为步，
∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，
∵
∴
∴
∴，
∴；
故选D
16. 如图，中，，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】在中，，
，，
，
为中位线，，
．
，，
，
．
故选：A．
17. 取一根长为1米的绳子，拉直后在任意位置处剪断，其中一段不大于0.4米的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】如图：
如果其中一段不大于0.4米，则只要不在之间的位置剪断绳子即可，因此概率是．
故选：C．
18. 为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，最后留下一个同学，则最后留下的这个同学编号是（ ）
A. 3B. 252C. 243D. 498
【答案】C
【解析】由题意第一轮剩下：
，，，，，，
第二轮剩下：
，，，，
∴经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为；
∵，即，
∴当圆圈只剩一个人时，，
∴这个同学的编号为．
故选C．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）
；
（2）
．
20.（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
解：（1），
方程两边同时乘以，得
，
化简整，得，
∴，
检验：把代入，得，
∴原方程的解为：．
（2），
由①得：，
由②得：，
∴，
∴不等式组的解集为．
21. 每年的3月5日是学雷锋纪念日，为了弘扬雷锋精神，某校组织“三月春风暖人心，雷锋精神永传承”活动，此次活动共有4名志愿者进行活动宣传，其中七年级有两名女生志愿者，八年级和九年级各有一名男生志愿者．
（1）若从这4名志愿者中随机选取一名志愿者谈谈自己的感受，则抽到___________年级学生的可能性最大；
A．七 B．八 C．九
（2）现在要从这4名志愿者中随机抽取两名学生谈谈自己的感受，请你用列表或画树状图的方法求抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
解：（1）∵一共有4名志愿者，每名志愿者被选取的概率相同，
∴抽到七年级学生的概率为，抽到八年级学生的概率为，抽到九年级学生的概率为，
∵，
∴抽到七年级学生的可能性最大，
故答案为：A；
（2）用A、B表示七年级的两名女生，用C、D分别表示八年级的男生和九年级的男生，画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数有8种，
∴抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．
22. 2023年9月18日，据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第四课定于9月21日下午15时45分开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮将面向全国青少年进行太空科普授课，3名航天员展示介绍中国空间站梦天实验舱工作生活场景，演示球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验，并与地面课堂进行互动交流．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
成绩频数分布表
50名学生“航空航天知识”测试成绩（百分制）扇形统计图
A： B： C： D： E：
成绩在这一组的是：（单位：分）
70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中________，________．在这次测试中，成绩的中位数是________分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为________．
（2）这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
解：（1），
，
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是78.5，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为；
故答案为：10，18，78.5，；
（2）乙的说法不正确，
利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是78.5分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下．
23. 如图，平行四边形中，、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）连接，当与满足条件________时，四边形是矩形．
（1）证明：在平行四边形中，，，，
、分别是、的中点，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：当与满足条件时，四边形是矩形．
在平行四边形中，，，，
、分别是、的中点，
，，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形．
故答案为：．
24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）连接、，求的面积；
（3）观察图像，直接写出时x的取值范围是________．
解：（1）的图像经过，
∴，则，
∴．
∵的图像经过点，则，∴．
一次函数的图像经过，，
，解得
∴
（2）∵直线，
当时，，
∴，，
∴的面积
（3）∵，即，
∴，
如图，
当时，∴，解得：，，
∴两点横坐标分别为，，
∴的解集是或．
25. 我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，海面上方的鱼线BC与海面HC成一定角度，求点B到海面HC的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．
（参考数据：sin37°＝cs53°≈，cs37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°＝，cs22°≈，tan22°≈）
解：（1）过点B作BFCH，垂足为F，延长AD交BF于点E，
则AE⊥BF，垂足于E，
由cs∠BAE=，
∴cs22°=，
∴，即AE=4.5，
∴DE=AE-AD=4.5-0.4=4.1，
由sin∠BAE=，
∴sin22°=，
∴=，即BE=1.8，
∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3．
答：点B到海面HC的距离为3米．
（2）过点B作BNOH，垂足为N，延长AD交BN于点M，
则AM⊥BN，垂足为M．
由cs∠BAM=,
∴cs53°=，
∴，
即AM=2.88，
∴DM=AM-AD=2.88-0.4=2.48,
由sin∠BAM= ,
∴sin53°=，
∴,
即BM=3.84，
∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04,
∴ON==2.1，
∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58,
答：点O到岸边DH距离为4.58米．
26. 如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，．
（1）求作满足条件的点E（要求尺规作图，保留作图痕迹）
（2）延长交的延长线于点F，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________；
（3）若，，求的长．
解：（1）如图，点E即为所求；
；
由作图可得：，
而为的直径，
∴，
∴．
（2）在和中， ，
∴， ∴，
∴是的切线，故①正确；
由作图可知，， ∴，故②正确；
∵，，
∴垂直平分线段，故③正确；
∵不一定是， ∴无法判断是等边三角形，故④错误．
故答案为：①②③；
（3）过点D作于点H．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴．
27. 丁字尺（T-square），又称T型尺，为一端有横档的“丁”字形直尺，由互相垂直的尺头和尺身构成，常在工程设计上绘制图纸时配合绘图板使用．在一节数学实验课上，同学们将如图1中的“T型尺”（其中于点O）放置在矩形上，摆放“T型尺”时，点O在线段上，直线与边交于点E，与直线相交于点F，射线与直线交于点G．已知，，E在上且．

【初步认识】
（1）在图2中画出当“T型尺”的点O与点A重合时的图形，此时线段的长为：________．
（2）在图3中画出当“T型尺”的刚好过点B时的图形，求此时线段的长；
【深入思考】
（3）如图4，求的值．
解：（1）如图2，

∵矩形，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）如图3，

设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，当点G与点B重合时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，整理得，
解得，
∴或，
当时，，
中，，
当时，，
中，，
当点G与点B重合时，线段OG的长为或；
（3）如图4，

设，∴，
，，，
即，，
，
设，则，过点作，则，

，，
．成绩x（分）
频数
4
a
14
b
4