[数学][二模]江苏省南京市鼓楼区2024年中考二模试题(解析版)

这是一份[数学][二模]江苏省南京市鼓楼区2024年中考二模试题(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. 2D.
【答案】A
【解析】∵
∴四个数中，最小的数是，
故选：A．
2. 如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 包含
【答案】A
【解析】由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交；
故选：A．
3. 刚刚过去的“五一”假期，南京全市景区景点、文博场馆、乡村旅游等监测点接待游客量约为108250000人次．用科学记数法表示108250000是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】．
故选：D．
5. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】一个正边形的内角和为，
∴，解得，，
∵正六边形的外角和为，
∴每个外角的度数为，
故选：．
6. 如图，O是的外心，，垂足分别为D，E，F，连接的中点H，I，J，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵O是的外心，，垂足分别为D，E，F，
∴垂直平分垂直平分垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置）
7. 16的平方根是_______，27的立方根是_______．
【答案】 3
【解析】，，
故答案为：，3．
8. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
【答案】x≥3
【解析】由题意可得：x—3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
9. 分解因式：___________．
【答案】ab（a+b）（a﹣b）．
【解析】a3b﹣ab3，=ab（a2﹣b2），=ab（a+b）（a﹣b）．
10. 计算的结果是___．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
11. 无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H：，D：”（H代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离），则此时无人机到起飞点的距离为______．
【答案】50
【解析】根据题意可得出此时无人机到起飞点的距离为，
故答案为：50．
12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°．

【答案】15
【解析】∵四边形是的内接四边形，且，
∴，
∵是的直径，∴，∴，
故答案为：15．
13. 用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为____．
【答案】
【解析】拼成的四边形有如下四种可能：
设角所对的直角边长为a，则斜边长为，另一直角边长为．
第一种情况：作交的延长线于点E，易知，
则，
，，
，
两条对角线的比值，
第二种情况：作交的延长线于点E，可得矩形，
令，则，
，
，
，
，
两条对角线的比值；
第三种情况：四边形为矩形，
两条对角线的比值；
第四种情况：为等边三角形，，
两条对角线比值；
，
即在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______．
【答案】
【解析】∵双曲线位于一、三象限，直线与双曲线交相交，
∴，
∵直线与双曲线交于，两点，
∴和是方程的解，解得，
若，则，，则，
∴，
故答案为：．
15. 一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是______．
【答案】或
【解析】如图，
设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线l与y轴的交点为D，B关于直线l的对称点为C，
令，则，
解得，
∴， 令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线l为，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴直线l为，
代入A的坐标得，，
解得，
∴直线l的函数表达式是，
过点A作，交y轴于点E，
则，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线为，
代入A的坐标得，，
解得，
∴直线为，
∴直线l的函数表达式是或．
故答案为或．
16. 如图，正方形边长为12，E为上一点，．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且．若和交于点F，连接，则的最小值为______．
【答案】
【解析】在上取点G，使得，连接，过点E作，垂足为H，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为定角，
点三点共线，则点F在直线上运动，当时，有最小，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
解：原式 ．
18. （1）解方程：；
（2）解不等式组：．
解：（1）
；
（2），
由①得；
由②得．
∴该不等式组的解集为．
19. 如图，在中，点是边的中点，点E在上，点F在延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
（1）证明：在中，是边的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：满足条件时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
为中线，
，
即，
平行四边形为菱形．
20. 某年A，B两座城市四季的平均气温（单位：）如表所示：
（1）分别计算A，B两座城市的年平均气温；
（2）通过计算方差，比较哪座城市四季的平均气温较为接近．
解：（1）．
（2）
∵
∴城市B四季的平均气温较为接近．
21. 桌上放着4张纸牌，全部正面朝下，背面完全相同，其中有2张是“大王”．
（1）随机翻开1张纸牌，翻开的牌是“大王”的概率为 ．
（2）随机翻开2张纸牌，求翻开的2张牌中至少有1张是“大王”的概率．
解：（1）一共有4张牌，“大王”有2张，所以翻开的牌是“大王”的概率是.
（2）记这4张纸片为A，a，B，b（设B，b为大王）．列表如下：
随机翻开2张纸牌，共有12种可能出现的结果，即、、、,,、,,、,，,这些结果出现的可能性相同．所有的结果中，满足抽到的2张牌中至少有1张是大王的结果有10种，所以P（至少1张是大王）．
22. （n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全
平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接
近．
（1）按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）；
（2）结合图中思路，解释该方法的合理性．
解：（1）由新定义可得：
；
（2）设，其中．
则．
将两边平方，得．
∵ ，
∴ 的值会更接近于0，不妨近似为0．
∴ ．
∴ ，即．
23. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶B的仰角为，求山的高度．（参考数据：．）
解：过D作，垂足为F，
设．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴
在中，
∵，
∴．
解得 ．
∴．
答：山的高度为．
24. 晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内．
（1）当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离；
（2）连接，判断与的位置关系，并说明理由；
（3）小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度．
解：（1）∵
∴，
∴
∵
∴，
解得，，
答：此时小凯到路灯的距离；
（2）如图，
由（1）可得：,
∴
又
∴，
∴
∴；
（3）如图，
同（2）可得，
∴
∵
∴，
∴，
又
∴，
∴
解得，，
所以，小凯头顶离地面的最大高度．
25. 已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
解：如图，点P即为所求．
方法①：作直径，，且；作半径平分；过A，B分别作，垂线，两条垂线的交点即为点P．

方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，点P即为所求．
26. 已知二次函数（m为常数，）．
（1）当时，求该函数的图象的顶点坐标；
（2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；
（3）已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．
解：（1）当时，，
∴函数的图象的顶点坐标；
（2），
∴当 时, ，
当时, ,
当时, ,
∴该函数的图象总经过点和；
（3）∵二次函数的对称轴为，
∴点的对称点坐标为，
当时,
∵二次函数的对称轴为，
∴点在线段上，即，
∴；
当时,点在抛物线内，
即时, , 则满足题意，
此时,
解得，
故；
若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根，
∴
解得，
综上所述，m的取值范围为或或．
27. 用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积．能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？
（1）有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注．
（2）任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③是一种可行的分割方案：
①求证：；
②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图．
（3）如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）．
解：（1）如图①，即为满足题意的分割线；
如图②，即为满足题意的分割线．
图①中，，则，
∴，，∴是两个全等的含30度角的直角三角形，故可以组成一个等边三角形；
图②可组成如图所示的等边三角形；
（2）①证明：连接．
∵ D，E分别为的中点，∴为的中位线．
∴，．∴．
∵，∴．
∵，∴．
∴． ∴．
②如图所示，矩形即为所求．
（3）如图，取边的中点E，F，在边上分别取点G，H，使；在上取点I，使，连接，则即为满足题意的分割线．
城市
春
夏
秋
冬
A
19
11
B
15
30
24
11
A
a
B
b
A
a
B
b