北师大版九年级上册第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程教学ppt课件

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数学 九年级上册 BS版
1. 因式分解法的定义.当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个 ⁠ 的乘积时，可把一元二次方程转化为两个一元一次方程， 这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解，这种解一 元二次方程的方法称为因式分解法.
2. 用因式分解法求解一元二次方程的一般步骤.
用因式分解法解下列方程：（1）3 x2＝2 x ；（2）5 x （ x ＋1）＝6（ x ＋1）；（3）2 x （ x －3）＝3 x －9；（4）（ x －3）2＝（2 x ＋1）2.
【思路导航】先因式分解，再解方程：（1）变形后，提取公因 式 x ；（2）变形后，提取公因式（ x ＋1）；（3）变形后，提 取公因式（ x －3）；（4）运用平方差公式进行因式分解.
【点拨】因式分解法解一元二次方程的依据：若两个因式的积 为0，则这两个因式至少有一个因式等于0.因式分解的常用方法 有：提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十 字相乘法.这几种方法需要灵活并熟练运用.
用因式分解法解下列方程：
（1）（ x ＋8）（7 x －5）＝0；
（2）（6 x －1）2＝6 x －1；
（3） x （4 x ＋11）＝8 x ＋22；
（4）2（ x －3）＝ x2－9.
解： x1＝3， x2＝－1.
【思路导航】（1）用公式法；（2）移项后，用平方差公式进 行因式分解；（3）用“十字相乘法”进行因式分解；（4）把 （ x ＋4）看作一个整体，用“十字相乘法”进行因式分解，再 解方程.
（3）原方程可变形为（ x －1）（ x －5）＝0.∴ x1＝1， x2＝5.
（4）原方程可变形为[（ x ＋4）－1][（ x ＋4）－3]＝0.∴（ x ＋4）－1＝0，或（ x ＋4）－3＝0.∴ x1＝－3， x2＝－1.
【点拨】通过对比此题中的各种解法，我们可以知道：①解一 元二次方程，优先选择因式分解法；②若无法进行因式分解， 再考虑公式法.其中，“十字相乘法”需要熟练掌握.同时需要注 意的是，公式法能处理所有一元二次方程，但是计算量较大， 可作为最后的解题手段.
用适当的方法解下列方程：
（2）（3 x －4）2＝（4 x －3）2；
解： x1＝－1， x2＝1.
（3）3 x2＋2 x －5＝0；
（4）（ x －3）（ x ＋1）＝5.
解： x1＝－2， x2＝4.
已知一元二次方程 x2－（2 k ＋1） x ＋ k2＋ k ＝0.（1）求证：该方程有两个不相等的实数根.（2）已知△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是这个方程的两个实数 根，且第三边 BC 的长为5.当△ ABC 是等腰三角形时，求 k 的值.
【思路导航】（1）先计算出Δ的值，然后根据判别式的大小即 可得到结论；（2）先用因式分解法求出方程的解，再进行分类 讨论，最后求出 k 的值.
（1）证明：∵Δ＝[－（2 k ＋1）]2－4（ k2＋ k ）＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根.
（2）解：∵ x2－（2 k ＋1） x ＋ k2＋ k ＝0，∴ x2－[ k ＋（ k ＋1）] x ＋ k （ k ＋1）＝0.∴（ x － k ）[ x －（ k ＋1）]＝0.∴ x1＝ k ， x2＝ k ＋1.∵ k ＜ k ＋1，∴ AB ≠ AC .
①当 AB ＝ k ， AC ＝ k ＋1，且 AB ＝ BC 时， k ＝5，三边长5， 5，6能组成三角形，符合题意.
②当 AB ＝ k ， AC ＝ k ＋1，且 AC ＝ BC 时， k ＋1＝5.解得 k ＝4. 三边长4，5，5能组成三角形，符合题意.综上所述， k 的值为4或5.
【点拨】对于含参数的一元二次方程，若题目中的条件涉及根 的值，可用十字相乘法求根，或者直接用公式法求根，且求出 的根含有参数.对于一元二次方程与实际结合的问题，最后一定 要检查解是否符合题意.
已知关于 x 的方程 kx2－（4 k －3） x ＋3 k －3＝0.（1）求证：无论 k 取何值，该方程都有实数根；
（1）证明：当 k ≠0时，Δ＝[－（4 k －3）]2－4 k （3 k －3）＝4 k2－12 k ＋9＝（2 k －3）2≥0.∴无论 k 取何值（ k ≠0），原方程都有两个实数根.当 k ＝0时，方程变为3 x －3＝0.解得 x ＝1. 此时，原方程有一个 实数根.综上所述，无论 k 取何值，原方程都有实数根.
（2）若 x ＝－1是该方程的一个根，求 k 的值；
（3）若该方程的两个实数根均为正整数，求整数 k 的值.