北师版九上数学期末复习课（二）第二章 一元二次方程（课件）

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总复习　期末复习课期末复习课（二）　（第二章　一元二次方程）数学 九年级上册 BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1知识梳理1. 一元二次方程的相关定义.（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为 的整式方程叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式： ⁠ ⁠.（3）一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的求根公式是 ⁠ ⁠.2　ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）　x  2. 一元二次方程的四种常见解法.（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法.3. 一元二次方程的根的判别式.一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的判别式是Δ＝ ⁠ ⁠.（1）当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ 0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ 0时，方程有（两个）实数根；（4）当Δ 0时，方程没有实数根.b2－4 ac 　＞　＝　≥　＜　   数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练类型一　解一元二次方程 解下列方程： 【思路导航】观察方程的形式，用恰当的方法解方程即可.  （3） 移项，得 x （ x ＋3）－5（ x ＋3）＝0，即（ x ＋3）（ x －5）＝0.∴ x ＋3＝0或 x －5＝0.∴ x1＝－3， x2＝5. 【点拨】对于解一元二次方程的计算类问题，通过观察方程的结构从所学的直接开平方法、配方法、因式分解法（十字相乘法）、公式法（平方差公式、完全平方公式）中选择合适的方法进行求解，确保用最简捷合理的方法进行求解，从而达到减小运算量，准确又高效的目的. 根据要求解下列方程：  （2）5 x2＋2 x －1＝0（公式法）； （3）9（ x －2）2＝121（ x ＋1）2（直接开平方法）；   类型二　根的判别式的综合运用 已知关于 x 的一元二次方程 mx2－4 x －5＝0（ m ≠0）.（1）求证：当 m ＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；（2）已知 x ＝ n 是原一元二次方程的一个实数根，且 mn2－4 n ＋ m ＝3＋ m2，求 m 的值.【思路导航】（1）根据关于 x 的一元二次方程 mx2－4 x －5＝0的根的判别式与0的关系来判断该方程的根的情况；（2）由已知条件列出关于 m 的方程，通过解方程即可求得 m 的值.（2）解：∵ x ＝ n 是原一元二次方程的一个实数根，∴ mn2－4 n －5＝0，∴ mn2－4 n ＝5.又∵ mn2－4 n ＋ m ＝3＋ m2，∴5＋ m ＝3＋ m2.整理，得 m2－ m －2＝0.（1）证明：Δ＝ b2－4 ac ＝（－4）2－4 m ·（－5）＝16＋20 m .当 m ＞0时，16＋20 m ＞0.∴当 m ＞0时，方程一定有两个不相等的实数根. 【点拨】Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根.若题目已知一个根，解决代数式问题时，可直接将根代入方程中进行变形，然后寻找变形后的方程与题中所给的方程之间的关系，从而解决问题. 1. 已知关于 x 的方程2 kx2＋（8 k ＋1） x ＝－8 k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ⁠.  2. 已知关于 x 的一元二次方程（ a ＋ c ） x2＋2 bx ＋（ a － c ）＝0，其中 a ， b ， c 分别为△ ABC 三边的长.（1）若 x ＝－1是方程的根，试判断△ ABC 的形状，并说明理由；解：（1）△ ABC 为等腰三角形.理由如下：把 x ＝－1代入方程，得 a ＋ c －2 b ＋ a － c ＝0，∴ a ＝ b .∴△ ABC 为等腰三角形.（2）若方程有两个相等的实数根，试判断△ ABC 的形状，并说明理由；解：（2）△ ABC 为直角三角形.理由如下：根据题意，得Δ＝（2 b ）2－4（ a ＋ c ）（ a － c ）＝0，即 b2＋ c2＝ a2.∴△ ABC 为直角三角形.（3）若△ ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.解：（3）∵△ ABC 为等边三角形，∴ a ＝ b ＝ c .∴原方程化为 x2＋ x ＝0.解得 x1＝0， x2＝－1.类型三　根与系数的关系的综合运用 （1）已知 x ＝1是方程 x2－ kx －2＝0的一个根，则该方程的另一个根为 ， k 的值为 ⁠.【思路导航】此题可用两种方法求解，方法一：由根与系数的关系求出另一个根；方法二：由根的定义，先求出 k 的值，再解方程.x ＝－2　－1　【解析】（方法一）设方程的另一个根为 x2.由根与系数的关系，得1＋ x2＝ k ， x2＝－2，则 k ＝－1.∴方程的另一个根为 x ＝－2， k 的值为－1.故答案为 x ＝－2， －1.（方法二）∵方程 x2－ kx －2＝0的一个根是 x ＝1，∴1－ k －2＝0.解得 k ＝－1.∴方程为 x2＋ x －2＝0.解得 x1＝1， x2＝－2.∴方程的另一个根为 x ＝－2， k 的值为－1.故答案为 x ＝－2， －1.【点拨】已知一元二次方程的一个根求另一个根及字母系数的方法有两种，方法一（利用根与系数的关系）：（1）若字母系数在一次项中，先用两根积的关系求出另一个根，再用两根和的关系求字母系数的值；（2）若字母系数在常数项中，先用两根和的关系求出另一个根，再用两根积的关系求字母系数的值.方法二（利用根的定义）：先把已知根代入一元二次方程中，求出字母系数的值，再解一元二次方程，求出另一个根.（2）已知α，β是方程 x2＋4 x ＋2＝0的两个实数根，则α3＋14β＋2 072＝ ⁠.【思路导航】根据根与系数的关系和方程的根的定义列式并代入求解即可.2 024　【解析】 ∵α，β是 x2＋4 x ＋2＝0的两个实数根，∴α＋β＝－4，α2＋4α＋2＝0.∴α2＝－4α－2.∴α3＝－4α2－2α＝－4（－4α－2）－2α＝14α＋8.∴α3＋14β＋2 072＝14α＋8＋14β＋2 072＝14（α＋β）＋2 080＝14×（－4）＋2 080＝－56＋2 080＝2 024.故答案为2 024.【点拨】解决此类问题首先根据题干告知的根的情况找出相应的根与系数的关系，然后对所求的代数式进行合理降次或拆分处理，再结合方程根的定义和根与系数的关系，运用整体思想进行求解.注意求代数式的值时，不仅要考虑根与系数之间的关系，还要考虑方程根的意义.  －20或2　 类型四　一元二次方程的实际应用 某工厂引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产3万个，第三天生产4.32万个.已知每天生产口罩个数增长的百分率相同，请解答下列问题：（1）每天增长的百分率是多少？（2）经调查发现，一条生产线最大产能是9万个/天，若每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少0.3万个/天.①现该厂要保证每天生产口罩39万个，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩90万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.【思路导航】（1）设每天增长的百分率为 x ，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结果；（2）①设应该增加 m 条生产线，根据每天生产口罩39万个，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结果；②先假设能，再列方程，由方程是否有解进行判断.解：（1）设每天增长的百分率为 x .由题意，得3（1＋ x ）2＝4.32.解得 x1＝0.2＝20％， x2＝－2.2（不合题意，舍去）.∴每天增长的百分率为20％.（2）①设应该增加 m 条生产线，则每条生产线的最大产能为（9－0.3 m ）万个/天.由题意，得（1＋ m ）（9－0.3 m ）＝39.整理，得 m2－29 m ＋100＝0.解得 m1＝4， m2＝25.又∵在增加产能的同时又要节省投入，∴ m ＝4.即应该增加4条生产线.②不能.理由如下：假设增加 a 条生产线，则每条生产线的最大产能为（9－0.3 a ）万个/天.由题意，得（1＋ a ）（9－0.3 a ）＝90.化简，得 a2－29 a ＋270＝0.∵Δ＝（－29）2－4×1×270＝－239＜0，∴方程无解.∴不能通过增加生产线，使得每天生产口罩90万个.【点拨】解决一元二次方程类应用题通常都会运用到 a （1± x ）2＝ b 这类公式，所以一定要根据题意弄清楚“增长”还是“减少”，经过几次“增长（减少）”.注意在一元二次方程的应用题中解方程之后一定要进行检验：（1）检验计算结果是否正确；（2）检验计算结果是否符合题意. 小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”.已知小伟的家乡每年大约产“留香瓜”600 t，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为每千克10元，水果商贩上门收购的价格为每千克8元.利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100 t “留香瓜”，水果商贩每千克的收购价将提高1元.假设网上销售价格为每千克20元，本地自产自销的价格仍然为每千克10元.  （2）利用网络平台进行销售后，小伟家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，则每年在网络平台上销售了多少吨“留香瓜”？ 类型五　一元二次方程与几何图形的综合 如图，在矩形 ABCD 中， BC ＝20 cm，点 P ， Q ， M ， N 分别从点 A ， B ， C ， D 出发，沿 AD ， BC ， CB ， DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止.已知在相同时间内，若 BQ ＝ x cm（ x ≠0），则 AP ＝2 x cm， CM ＝3 x cm， DN ＝ x2 cm.（1）当 x 为何值时，点 P 与点 N 重合？（2）当 x 为何值时，以点 P ， Q ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边形？【思路导航】（1）由题意表示出 AP ， DN 的长，利用 AP ， DN 的长度和为20 cm列出方程，解方程即可；（2）易知 PN ∥ QM ，要使以点 P ， Q ， M ， N 为顶点的四边形为平行四边形，则 PN ＝ QM ，由题意列出方程，解方程即可.解：（1）∵ AP ＝2 x cm， DN ＝ x2 cm，点 P ， N 重合.∴ AP ＋ DN ＝ AD ，即2 x ＋ x2＝20.  ①当点 P 在点 N 的左侧时，如图1所示.由题意，得20－（ x ＋3 x ）＝20－（2 x ＋ x2）.解得 x1＝0（舍去）， x2＝2.∴当 x ＝2时，四边形 PQMN 是平行四边形.图1②当点 P 在点 N 的右侧时，如图2所示. 由题意，得20－（ x ＋3 x ）＝（2 x ＋ x2）－20.解得 x1＝－10（舍去）， x2＝4.∴当 x ＝4时，四边形 NQMP 是平行四边形.综上所述，当 x ＝2或 x ＝4时，以点 P ， Q ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边形.图2图2【点拨】此类问题是涉及一元二次方程与几何的综合问题.对于动点的分析，一般情况下是找到点运动的关键拐点，再根据具体几何图形构造方程进行求解.注意：在解题过程中，不要遗漏动点运动的任何一种情况，确保分析问题的完整性. 如图，已知在数轴上有 A ， B 两点，点 A 表示的数为4，点 B 在点 A 的左边，且 AB ＝12.若有一动点 P 从数轴上的点 A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 Q 从点 B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 t S . 图1图2（1）解：由题意，得点 B 表示的数为－8，点 P 表示的数为4－ t ，点 Q 表示的数为－8＋2 t .①当点 P 在点 Q 右侧时，（4－ t ）－（－8＋2 t ）＝3，解得 t ＝3；②当点 P 在点 Q 左侧时，（－8＋2 t ）－（4－ t ）＝3，解得 t ＝5.综上所述，点 P 运动3 s或5 s时与点 Q 相距3个单位长度.（1）若点 P ， Q 分别从 A ， B 两点同时出发，问：点 P 运动多少秒与点 Q 相距3个单位长度？（2）若点 P ， Q 分别从 A ， B 两点同时出发，分别以 BQ 和 AP 为边，在数轴上方作正方形 BQCD 和正方形 PAFE ，如图2所示.当 t ＝ 时，两个正方形重叠部分的面积是正方形 PAFE 面积的一半.4.8或24　 图1②如图2，点 P ， Q 均在线段 AB 外.图2图2 演示完毕 谢谢观看