北师版九上数学期末复习课（一）第一章特殊平行四边形（课外培优课件）

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总复习　期末复习课期末复习课(一)（第一章　特殊平行四边形） 1. 如图， AD 是△ ABC 的中线，四边形 ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ ADCE 是菱形的是（　A　）A2. （2023·襄阳）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ，下列结论一定正确的是（　C　）C3. （2021·玉林）如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.顺次添加的条件：①a→c→d，②b→d→c，③a→b→ c .正确的是（　C　）C4. 如图，点 E 是正方形 ABCD 中的一点，连接 EB ， EC ， EA ， ED . 若△ EBC 为等边三角形，则∠ BAE 的度数为 ⁠.5. 已知菱形 ABCD 的一条对角线长为6，边 AB 的长是方程 x2－8 x ＋15＝0的一个根，则菱形 ABCD 的面积为 ⁠.75°　24　6. （2023·台州）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝4， AD ＝6.在边 AD 上取一点 E ，使 BE ＝ BC ，过点 C 作 CF ⊥ BE ，垂足为 F ，则 BF 的长为 ⁠. 7. （2023·长春）将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放.点 A ， E ， B ， D 在同一直线上，连接 AF ， CD . （1）求证：四边形 AFDC 是平行四边形；（1）证明：由题意知，△ ACB ≌△ DFE ，∴ AC ＝ DF ，∠ CAB ＝∠ FDE ＝30°.∴ AC ∥ DF . ∴四边形 AFDC 是平行四边形.（2）已知 BC ＝6 cm，当四边形 AFDC 是菱形时，则 AD 的长为 ⁠cm.18　（2）【解析】在Rt△ ACB 中，∠ ACB ＝90°，∠ CAB ＝30°， BC ＝6 cm，∴ AB ＝2 BC ＝12 cm，∠ ABC ＝60°.∵四边形 AFDC 是菱形，∴ AD 平分∠ CDF . ∴∠ CDA ＝∠ FDA ＝30°.∵∠ ABC ＝∠ CDA ＋∠ BCD ，∴∠ BCD ＝∠ ABC －∠ CDA ＝60°－30°＝30°.∴∠ BCD ＝∠ CDA . ∴ BC ＝ BD ＝6 cm.∴ AD ＝ AB ＋ BD ＝18 cm.故答案为18.8. 如图，在▱ ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，延长 BC 到点 F ，使 CF ＝ BE ，连接 DF ， OF . （1）求证：四边形 AEFD 是矩形；（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ DC ，且 AB ＝ DC . ∵ CF ＝ BE ，∴ EF ＝ BC . ∴ EF ∥ AD ，且 EF ＝ AD . ∴四边形 AEFD 是平行四边形.又∵ AE ⊥ BC ，即∠ AEF ＝90°，∴四边形 AEFD 是矩形.（2）若 AD ＝5， CE ＝3，∠ ABF ＝60°，求 OF 的长.（2）解：由（1）知， EF ＝ AD ＝5， AE ＝ DF . ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ BC ＝ AD ＝5， OB ＝ OD . ∵ EC ＝3，∴ BE ＝ CF ＝2.∴ BF ＝ BC ＋ CF ＝7.在Rt△ ABE 中，∵∠ ABE ＝60°，  9. 如图，点 F 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，将矩形的一角沿 AF 折叠，点 B 落在点 E 处.若 AE ∥ BD ，∠ ADB ＝28°，则∠ AFC ＝ ⁠°.149　【解析】∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠ BAD ＝∠ ABC ＝90°.∵ AE ∥ BD ，∴∠ DAE ＝∠ ADB ＝28°.∴∠ BAE ＝∠ BAD ＋∠ DAE ＝90°＋28°＝118°.∵矩形 ABCD 沿 AF 折叠，点 B 落在点 E 处，∴∠ BAF ＝∠ EAF ＝59°.∴∠ AFC ＝∠ BAF ＋∠ ABF ＝59°＋90°＝149°.故答案为149.   11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知点 E ， F 分别是边 AB ， AD 上的动点，点 P 是线段 EF 的中点， PG ⊥ BC ， PH ⊥ CD ，垂足为 G ， H ，连接 GH ，且 AB ＝8， AD ＝6， EF ＝6，求 GH 长的最小值.解：如答图，连接 AC ， AP ， CP . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ BC ＝ AD ＝6，∠ BAD ＝∠ B ＝∠ BCD ＝90°. ∵点 P 是线段 EF 的中点， ∵ PG ⊥ BC ， PH ⊥ CD ，∴∠ PGC ＝∠ PHC ＝90°.答图又∵∠ HCG ＝90°，∴四边形 PGCH 是矩形.∴ GH ＝ CP . 当 A ， P ， C 三点共线时， CP 长的最小值为 AC － AP ＝10－3＝7.∴ GH 长的最小值是7.答图12. 如图，点 E 为正方形 ABCD 内一点，且满足∠ AEB ＝90°，将△ ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转90°，得到△ CBE '（点 A 的对应点为点 C ），延长 AE 交 CE '于点 F ，连接 DE . （1）试判断四边形 BE ' FE 的形状，并证明你的结论；（1）解：四边形 BE ' FE 是正方形.证明如下：∵△ CBE '是由△ ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转90°得到，∴∠ CE ' B ＝∠ AEB ＝90°，∠ EBE '＝90°.又∵∠ BEF ＋∠ AEB ＝180°，∴∠ BEF ＝90°.∴四边形 BE ' FE 是矩形.由旋转的性质可知， BE ＝ BE '，∴矩形 BE ' FE 是正方形.（2）若 DA ＝ DE ，证明： CF ＝ FE '；  （3）若 AB ＝15， CF ＝3，求 DE 的长.  13. （选做）如图1，已知四边形 BEFG 是正方形，点 C 在 BE 的延长线上，点 A 在 GB 的延长线上，且 AB ＝ BC ，过点 C 作 AB 的平行线，过点 A 作 BC 的平行线，两条平行线相交于点 D . （1）证明：四边形 ABCD 是正方形； （1）证明：∵四边形 BEFG 是正方形，∴∠ EBG ＝90°，即∠ ABC ＝90°.∵ CD ∥ AB ， AD ∥ BC ，∴四边形 ABCD 是平行四边形.又∵ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝90°，∴四边形 ABCD 是正方形.（2）当正方形 BEFG 绕点 B 按顺时针（或逆时针）方向旋转一定角度，得到图2，使得点 G 在射线 DB 上，连接 BD 和 DF ，点 Q 是线段 DF 的中点，连接 CQ 和 QE ，猜想线段 CQ 和线段 QE 的关系，并说明理由；（2）解：猜想： CQ ⊥ QE ， CQ ＝ QE . 理由如下：如图1，延长 EQ 交 BD 于点 P ，连接 CP ， CE . ∵四边形 BEFG 是正方形，∴ EF ∥ BG ，即 EF ∥ DG ，∠ EBG ＝90°，即∠ DBE ＝90°， BE ＝ EF . ∴∠ PDQ ＝∠ EFQ . ∵点 Q 是 DF 的中点，∴ DQ ＝ FQ . 又∵∠ DQP ＝∠ FQE ，∴△ DPQ ≌△ FEQ （ASA）.∴ PQ ＝ QE ， DP ＝ FE . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ CDP ＝∠ CBD ＝45°， CD ＝ CB . ∴∠ CBE ＝∠ DBE － CBD ＝45°，即∠ CDP ＝∠ CBE ＝45°.又∵ CD ＝ CB ， DP ＝ EF ＝ BE ，∴△ CDP ≌△ CBE （SAS）.∴ CP ＝ CE ，∠ DCP ＝∠ BCE . ∴∠ DCP ＋∠ PCB ＝∠ BCE ＋∠ PCB ，即∠ PCE ＝∠ BCD ＝90°.∵ CP ＝ CE ，∴△ CPE 是等腰直角三角形.∵ PQ ＝ QE ，∴ CQ ⊥ QE ， CQ ＝ QE . （3）将正方形 BEFG 绕点 B 旋转一周时，当∠ CGB ＝45°时，直线 AE 交 CG 于点 H ，探究线段 CH ， EG ， AH 的长度关系.（3）解：如图2，当点 G 在直线 BC 右侧，∠ CGB ＝45°时， C ， E ， G 三点共线，此时点 E 与点 H 重合.∵∠ ABC ＝∠ EBG ＝90，∴∠ ABH ＝∠ CBG . 又∵ BA ＝ BC ， BH ＝ BG ，∴△ ABH ≌△ CBG （SAS）.∴ AH ＝ CG . ∵ CG ＝ CH ＋ EG ，∴ AH ＝ CH ＋ EG . 图2　　如图3，当点 G 在直线 BC 左侧，且∠ CGB ＝45°时， A ， E ， G 三点共线，此时点 G 与点 H 重合.∵∠ ABC ＝∠ EBG ＝90°，∴∠ ABE ＝∠ CBG . 又∵ BA ＝ BC ， BE ＝ BG ，∴△ ABE ≌△ CBG （SAS）.∴ AE ＝ CG . ∵ AE ＝ AH ＋ EG ，∴ CH ＝ AH ＋ EG . 综上所述，当点 G 在直线 BC 右侧时， AH ＝ CH ＋ EG ，当点 G 在直线 BC 左侧时， CH ＝ AH ＋ EG . 图3　　演示完毕 谢谢观看