北师版九上数学专题2特殊平行四边形中的最值问题（课外培优课件）

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第一章　特殊平行四边形专题2　特殊平行四边形中的最值问题 1. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， AC ＝6， BC ＝8， AB ＝10，点 P 为直线 AB 上一动点，连接 PC ，则线段 PC 长的最小值是（　D　）D B3. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为2，点 E 为边 BC 的中点，点 P 在对角线 BD 上移动，则△ PCE 周长的最小值是（　C　）C4. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝3， CD ＝4，点 P 是 AC 上一个动点（点 P 与点 A ， C 不重合），过点 P 分别作 PE ⊥ BC 于点 E ， PF ∥ BC 交 AB 于点 F ，连接 EF ，则 EF 的最小值为 ⁠. 5. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝4， BC ＝6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 S△ PAB ＝ S△ PCD ，则 PC ＋ PD 的最小值为 ⁠ ⁠.2  6. 如图，将两张长为9、宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，则菱形面积的最大值是 ⁠.15　【解析】如图，此时菱形 ABCD 的面积最大.设 AB ＝ x ，则 EB ＝9－ x ， AE ＝3.由勾股定理，得32＋（9－ x ）2＝ x2.解得 x ＝5. S最大＝5×3＝15.故答案为15.7. 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为（－3，5），点 D 在线段 AO 上，且 AD ＝2 OD ，点 E 在线段 AB 上.当△ CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标.解：如答图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 D '，连接 CD '交 AB 于点 E '.此时△ DCE '的周长最小.∵四边形 OABC 是矩形，且 B （－3，5），∴ OA ＝3， OC ＝5.∵ AD ＝2 OD ，∴ AD ＝2， OD ＝1.∴ AD '＝ AD ＝2.∴ D '（－5，0）.又∵ C （0，5），答图∴直线 CD '的函数表达式为 y ＝ x ＋5.当 x ＝－3时， y ＝－3＋5＝2.∴ E '（－3，2），即当△ CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为（－3，2）.答图答图8. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝12， AB ＝8，点 E 是 AB 上一点，且 EB ＝3，点 F 是 BC 上一动点.若将△ EBF 沿 EF 翻折后，点 B 落在点 P 处，求点 P 到点 D 的距离的最小值.解：如答图，连接 PD ， DE . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ A ＝90°.∵ AB ＝8， BE ＝3，∴ AE ＝5.∵ AD ＝12， 由折叠，得 EP ＝ EB ＝3.∵ EP ＋ DP ≥ ED ，答图∴当点 E ， P ， D 共线时， DP 最小.∴ DP 的最小值＝ DE － EP ＝13－3＝10.答图 9. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝4， AD ＝6，点 E 是 AB 所在直线的一个动点，点 F 是对角线 AC 上的动点，且 AE ＝ CF ，则 BF ＋ CE 的最小值为 ⁠.  答图答图10. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝5， BC ＝4，点 E ， F 分别是 AD ， BC 的中点，点 P ， Q 在 EF 上，且满足 PQ ＝2，则四边形 ABQP 周长的最小值为 ⁠.12　 答图   当 B ， P ， E 三点共线时， BP ＋ PE 最小，即为 BH 的长度.∵∠ AFB ＝∠ DFH ，∠ A ＝∠ H ＝90°，∴∠ ABF ＝∠ PDE ＝30°.∴ BF ＝2 AF . 在Rt△ ABF 中，由勾股定理，得AF2＋ AB2＝ BF2，答图∴ AF2＋22＝4 AF2.     答图 12. （选做）阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：如图1，在△ ABC 中，∠ ACB ＝30°， BC ＝6， AC ＝5，在△ ABC 内部有一点 P ，连接 PA ， PB ， PC ，求 PA ＋ PB ＋ PC 的最小值.图1小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法：如图2，将△ APC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°，得到△ EDC ，连接 PD ， BE ，则 BE 的长即为所求.图2（1）请你写出图2中， PA ＋ PB ＋ PC 的最小值为 ⁠.  图2（2）参考小华解决问题的方法，解决下列问题：①如图3，在菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝60°，在菱形 ABCD 内部有一点 P ，请在图3中画出并指明长度等于 PA ＋ PB ＋ PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形 ABCD 的边长为4，请直接写出当 PA ＋ PB ＋ PC 的值最小时 PB 的长.（2）①解：如图1，将△ APC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°，得到△ DEC ，连接 PE ， DE ，则线段 BD 为 PA ＋ PB ＋ PC 最小值的线段.图1  图2图2 图2演示完毕 谢谢观看