北师版九上数学专题1矩形、正方形中的四个常考模型（课外培优课件）

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第一章　特殊平行四边形专题1　矩形、正方形中的四个常考模型 1. 如图，将矩形纸条 ABCD 折叠，折痕为 EF ，折叠后点 C ， D 分别落在点 C '， D '处， D ' E 与 BF 交于点 G . 若∠ BGD '＝30°，则∠α的度数是（　D　）D2. 如图，将矩形纸条 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF ， EF 与 AC 交于点 O . 若 AE ＝5， BF ＝3，则 AO 的长为（　C　）C3. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝3 cm， AD ＝9 cm，将此矩形沿 EF 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则 BE 的长为（　C　）C4. 如图，在平面直角坐标系中，已知边长为2的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，边 AB 的中点是坐标原点 O . 将正方形绕点 C 按逆时针方向旋转90°后，则点 B 的对应点 B '的坐标是 ⁠ ⁠.（3，2）　5. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝5， AD ＝3.将矩形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度得到矩形 AB ' C ' D '.若点 B 的对应点 B '落在边 CD 上，则 B ' C 的长为 ⁠.1　6. 如图，已知点 E 为长方形纸片 ABCD 的边 CD 上一点，将纸片沿 AE 对折，点 D 的对应点 D '恰好在线段 BE 上，且 AD ＝3， DE ＝1，则 AB ＝ ⁠.5　7. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E 是边 BC 延长线上一点，连接 DE ，过点 B 作 BF ⊥ DE ，垂足为 F ， BF 与 CD 交于点 G . （1）求证： CG ＝ CE ；   8. 如图，折叠矩形 ABCD 的边 AD ，使得点 D 落在边 BC 的点 F 处.已知 BC ＝10 cm， AB ＝8 cm，求 CF 和 CE 的长.解：设 CE 的长为 x cm，则 DE ＝（8－ x ）cm.∵△ ADE 折叠后的图形是△ AFE ，∴ AD ＝ AF ，∠ D ＝∠ AFE ，DE ＝ EF . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝ BC ＝10 cm.∴ AF ＝ AD ＝10 cm.在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，得 AB2＋ BF2＝ AF2.∴82＋ BF2＝102.∴ BF ＝6 cm.∴ CF ＝ BC － BF ＝10－6＝4（cm）.在Rt△ EFC 中，根据勾股定理，得 CF2＋ CE2＝ EF2.∴42＋ x2＝（8－ x ）2.∴ x ＝3.即 CE 的长为3 cm.故 CF ＝4 cm， CE ＝3 cm. 9. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，点 E 为边 BC 上一点， BE ＝3，在 AE 的右侧以 AE 为边作正方形 AEFG ，点 H 为 BG 的中点，则 AE 的长为 ， AH 的长为 ⁠.5　 【解析】如图，以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴， BA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系.  10. （2022·广州）如图，在矩形 ABCD 中，已知 BC ＝2 AB ，点 P 为边 AD 上的一个动点，将线段 BP 绕点 B 按顺时针方向旋转60°得到线段 BP '，连接 PP ' ， CP '.当点 P ' 落在边 BC 上时，则∠ PP ' C 的度数为 ； 当线段 CP ' 的长度最小时，则∠ PP ' C 的度数为 ⁠.120°　75°　  　 图1　　 　 图211. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝8 cm， BC ＝6 cm，动点 P 从点 A 出发，以1 cm/s的速度沿线段 AB 向点 B 运动，连接 DP ，将∠ A 沿 DP 折叠，使点 A 落在点 A '处.当△ BPA '为直角三角形时，求点 P 运动的时间.解：①当∠ BA ' P ＝90°时，由折叠，得∠ PA ' D ＝∠ A ＝90°.∴∠ BA ' D ＝∠ BA ' P ＋∠ PA ' D ＝180°.∴点 B ， A '， D 在一条直线上.如图，连接 BD . 在Rt△ ABD 中，由勾股定理，得 BD ＝10 cm.设 AP ＝ x cm，则 A ' P ＝ x cm， BP ＝（8－ x ）cm， A ' B ＝10－6＝4（cm）.在Rt△ A ' PB 中， x2＋42＝（8－ x ）2.解得 x ＝3.∴点 P 的运动时间为3÷1＝3（s）.②当∠ A ' PB ＝90°时，∠ A ' PA ＝90°.又∵∠ DA ' P ＝∠ A ＝90°，∴四边形 APA ' D 是矩形.根据折叠的性质，得 A ' P ＝ AP . ∴四边形 APA ' D 是正方形.∴ AP ＝ AD ＝6 cm.∴点 P 的运动时间为6÷1＝6（s）；③当∠ A ' BP ＝90°时，不存在.综上所述，符合要求的点 P 的运动时间为3 s或6 s . 12. （选做）如图，已知点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 AM ，点 E 是线段 AM 上一点，∠ CDE 的平分线 DF 交 AM 的延长线于点 F ，连接 BE ， BF . （1）如图1，若点 E 是线段 AM 的中点，且 CM ＝2 BM ， BE ＝10，求正方形 ABCD 的面积；   （2）证明：如图，过点 A 作 AH ⊥ AF ，交 FD 的延长线于点 H ，过点 D 作 DP ⊥ AF 于点 P . ∵ DF 平分∠ CDE ，∴∠1＝∠2.∵ DE ＝ DA ， DP ⊥ AF ，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∴∠2＋∠3＝45°.∴∠ DFP ＝90°－45°＝45°.∴ AH ＝ AF . ∵∠ BAF ＋∠ DAF ＝90°，∠ DAH ＋∠ DAF ＝90°，∴∠ BAF ＝∠ DAH .  演示完毕 谢谢观看