河南省信阳高级中学2023-2024学年高三二模测试（四） 数学试题

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1-5 CDCCB 6-8 AAB 9. BC 10. BD 11. AD 12. ABD
17. 【解】(1) 当 时, , 所以 或 (舍去).
当 时, 有
两式相减得 ,
整理得
因为 的各项都是正数, , 所以 ,
所以 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列,
所以 .
(2) 由(1) 得 , 则 ,
所以 .
由 (1) 得 , 所以

因为当 时, ,
所以 , 故 ,
所以当 时, .
18.（1）由 , 得 ,所以 ,
所以 ,
则 ,
又 ,
所以
所以 ,
因为 , 所以 ,所以 ,
所以 ，所以 , ,

由 , 得 ;
(2) 因为 ,
所以
所以 , 又 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ,
因为 , 所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以A, B, C都为锐角，
所以 为锐角三角形.
19.【解答】解: (1) 证明: 如图，连接 .
因为在圆台 中，上、下底面直径分别为 ，且 ，所以 为圆台母线且交于一点 ，
所以 四点共面.
在圆台 中，平面 平面 ,
由平面 平面 ，平面 平面 ，得 .
又 ,
所以 ,
所以 , 即 为PC中点.
在 中, 又 为AC的中点, 所以 .
因为 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2) 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
因为 , 所以 .
则 .
因为 , 所以 .
所以 , 所以 .
设平面 的法向量为 ，
所以 。
令 ，则 ，所以 ，
又 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 .
, 攽 , 所以 ,
所W .
设二面角 的大小为 , 则 , 所以 所以二面角 的正弦值为 .
20、【解析】：(1) 设事件 为 “第 11 题得 0 分 "，事件 为 “第 11 题得 2 分”，事件 为 “第 11 起得 5 分”，事件 为 “第 12 题得 0 分”，事件 为 “第 12 题得 2 分"，
랭 ,
由题意可知: 的可能取值为0 ， 2 ， 4 ， 5 ， 7.
∴
的分布列为:
（2）由题意该同学的答题方案有：
方案一：第11题采用策略B，第 12 题采用策略 ;
方案二: 第 11，12 题都采用策路 ;
方桇三: 第11，12题都采用策路 ；
设随机变量 为该同学采用方案二时，第 11 题和第 12 题总得分，则 的可能取值为 0,2,4,5,7,10。
Y的分布列为:
但因为村间超过 10 分钟，后面的邀得分少 1 分，相当于得分均值为 . , 方案二的期熋值一定小于 4 ，故不选方案三.
综上可得: 建议该同学按照方案二，第 11,12 题都采用策略 .
21.【解析】: (1) 由题意， , 若直线 斜率为 0 , 不符合题意设l: ，
, 消去 得 ，
，
所以 ，
因为 为A B的中点，所以 ，
得 , 又 ，
所以 ，即 ，
解得 或 1 或 -1 .
所以直线 的方程为 或 或 ；
(2) 易知直线 A P与B P的斜率不为 0 ，
设 ，
，消去 得 ，
,
，消去 得 ，
,
有 ， , 所以 .
因为直线DE与抛物线 有 2 个交点，其斜率不为 0 ，
得 ，又点 在抛物线 上，有， ，
$
又，∴
即 ，
所以
而点 到量线DE的距离为
所以 ,
又 ，则 ，所以 ，
即 ODE 的面积的最小值为 250 。
22.【解答】解: (1) 由于 (1) ,若 ，则须有 ，又 ，解得 ，当 时， ， 在 上单调递增， ，当 时，由于 存在 使得在 上， ， 单调递减，此时 不成立，综上所述: 实数 的取值范围为 ;
(2) 证明: 由 (1) 得 ，
当 时， 在 上单调递减，不成立，当 时， ，
(1)当 ，即 单调递增，不成立，
(2) 当 ，即 ，解得 或 ，在 上 单调递增，在 上 单调递减，在 上 单调递增，又 ,
不妨设 , 则 ，
要证明: ，
故只需证 ，
只需证 ，
需证 ，
令 ，
则只需证
由 (1) 知 时， ，
时, ,
则 ,
又 时， ，
,
即 (*) 成立，故原式得证.0
2
4
5
7
0.05
0.35
0.3
0.15
0.15
0
2
4
5
7
10
0.01
0.08
0.12
0.1
0.48
0.21