河南省信阳高级中学2023-2024学年高三下学期二模测试（八） 数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合发目要求的。
1.展开式中第3项的系数是
A.
B.
C.
D.
2.已知直线和平面，则“”是“”的
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要
3.已知函数，则
A.
B.
C.
D.2
4.已知向量，向量，向量，若与共线，，则
A.
B.
C.
D.
5.已知函数，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点是函数的一个对称点，则和的值可能是
A.
C.
B.
D.
6.如果椭圆的离心率为，则
A.4
B.4或
C.
D.4或
7.为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部6人组建了党史宣讲，歌曲演唱，诗歌创作三个小组，每组2人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任诗歌创作，则组建方法有
A.60
B.72
C.30
D.42
8.一个正方形网格ABCD由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1.现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：.，点到的长度为1，点到的长度为2，点到的长度为3，点到的长度为，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转.按此规则一直移动直到移出网格ABCD为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是
A.4752
B.4753
C.4850
D.4851
二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分）
9.已知复数，满足，下列说法正确的是
A.若，则
C.若，则
B.
D.
10.已知正数a，b满足，下列结论中正确的是
A.的最小值为
C.的最小值为
B.的最小值为2
D.的最大值为1
11.设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则
A.
C.的最小值为
B.若，则点的坐标为
D.满足面积为的点有3个
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 。
13.已知，若在圆上存在点满足，则实数的取值范围是 。
14.如图，圆锥底面半径为，母线，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达点，其最短路线长度为 ，其中下坡路段长为 。
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，.
（1）证明：平面;
（2）若平面平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值.
16.（15分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二，为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（II）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（III）将该校学生支持方案二的概率估计值记为.假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为.请写出与的大小关系。（结论不要求证明）
17.（15分）已知函数.
（1）是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增：
（2）若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）.
18.（17分）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上异于顶点的一动点，的角平分线分别交轴、轴于点M、N.
（1）若，求;
（2）求的值
（3）当面积取到最大值时，求点的横坐标.
19.（17分）设为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且;
②;
③.
（1）如果数列的前四项为，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求;
（3）设数列的前项和为，是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的;如果不存在，说明理由.男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人