河南省信阳高中2023-2024学年高三下学期二模 数学模拟测试（九）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝｛x｜0＜x＋1＜2｝，B＝｛x｜x＜0或x＞2｝，则A∩B＝
A．｛x｜x＜0或2＜x＜3｝B．｛x｜2＜x＜3｝
C．｛x｜x＜1或x＞2｝ D．｛x｜－1＜x＜0｝
2．sin165°cs525°＝
A．B．C．D．
3．已知单位向量a，b满足｜a＋b｜＝2｜a－b｜，则a，b夹角的余弦值为
A． B．C．D．
4．已知复数z满足（z－3i）（2－i）＝5，则｜z｜＝
A． B．C．8D．20
5．若直线l：y＝2x＋4与抛物线C：＝2px（p＞0）只有1个公共点，则C的焦点F到l的距离为
A．B．C．D．
6．已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是
A． B．C．D．
7．已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间
A．B．C．D．
8．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是
A．B．
C．数列是递增数列D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知数列｛｝满足＝3，＝－2，则
A．｛－2｝是等差数列
B．｛｝的前n项和为［－1］＋2n
C．｛｝是单调递增数列
D．数列｛＋｝的最小项为4
10．已知函数f（x）＝［］－［］（x∈R，其中［x］表示不大于x的最大整数），则
A．f（x）是周期函数B．f（x）是奇函数
C．f（x）在［0，2）上单调递增D．f（x）的值域为｛0，l｝
11．已知正四面体ABCD的棱长为4，点P是棱AC上的动点（不包括端点），过点P作平面平行于AD、BC，与棱AB、BD、CD交于Q，S，T，则
A．该正四面体可以放在半径为的球内
B．四边形PQST为矩形
C．该正四面体的外接球与以A点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为
D．四棱锥C－PQST体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2023年度，网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟，郑州嵩山少林寺，开封清明上河园，洛阳老君山，洛阳白云山，小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩，则他们都去洛阳游玩，且不去同一景点的概率为_______．
已知分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点且垂直x轴的直线与C交于A，B两点，且＝，若圆＋＝4与C的一条渐近线交于M，N两点，则｜MN｜＝_______．
14.已知对，不等式恒成立，则的最大值是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)当时，若对于任意，均有成立，求实数的取值范围．
16.（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）求证：；
（2）若是边长为2的等边三角形，点满足，且平面与平面夹角的正切值为，求三棱锥的体积.
17.（15分） 已知椭圆的离心率为，点是上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，点为椭圆的下顶点，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．
18.（17分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.
19．（17分）对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列．
(1)若，写出，并求；
(2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：
(3)若数列满足，求数列A的个数．