河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损.，“”是“”的等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若z，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．15B．1C．D．
4．已知向量的夹角为且|，，则在上投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
7．已知抛物线的焦点为F，点P是C上一点，且，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则（ ）
A．2B．2或4C．4D．4或6
8．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数的图象如图所示，，是直线与曲线的两个交点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．的值为3B．的值为2C．的值可以为D．的值可以为
10．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位:℃）的记录数据（记录数据都是正整数）:
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．一个都没有B．甲地
C．乙地D．丙地
11．定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ ）
A．是奇函数B．
C．的图象关于直线对称D．
12．如图，双曲线的左右顶点为，，为右支上一点（不包含顶点），，，，直线与的渐近线交于、，为线段的中点，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．到两条渐近线的距离之积为
C．D．若直线与的斜率分别为，，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13．若的展开式中的系数为15，则 ．
14．已知直线的倾斜角为，则的值是 ．
15．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是 .
16．已知数列的通项公式为，数列为公比小于1的等比数列，且满足，，设，在数列中，若，则实数的取值范围为
．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知且.
(1)若，求；
(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.
18．已知函数的图象经过，周期为.
(1)求的解析式；
(2)在中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，的角平分线交AB于D.若恰为的最大值，且此时，求的最小值.
19．设数列的前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的表达式．
20．某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布，数学成绩的频数分布直方图如下：
（I）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）；
（II）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？
（III）如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（II）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有人，求的分布列和数学期望．
（附参考公式）若，则，
21．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．
22．已知函数．
(1)若函数在上为增函数，求实数的最大值；
(2)若有两个极值点，且不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）．
1．B
【分析】首先求解集合，再求集合的交集即可.
【详解】因为，
所以，又集合，
所以，
故选：B.
2．D
【分析】由复数除法运算法则，求出，即可求解.
【详解】，
在复平面内对应的点在第四象限.
故选:D.
【点睛】本题考查复数的代数运算及几何意义，属于基础题.
3．D
【分析】设等差数列的公差为利用基本量代换求出，进而求解.
【详解】设等差数列的公差为.
∵，∴，解得：，．
∴，∴．
∴．
故选：D．
4．C
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.
【详解】依题意，在上投影向量为，其中，
所以在上投影向量的坐标为.
故选：C
5．A
【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】解：当时，，所以 ，
当时，，所以 ，即
所以“”是“”的充分不必要条件
故选：A
【点睛】此题考查充分条件，必要条件的应用，属于基础题
6．C
【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可得到切线的长.
【详解】如图所示，圆心为，连接，

因为直线，关于对称，所以垂直于直线，
故，而，
所以.
故选：C
7．D
【分析】根据几何关系，求点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.
【详解】设圆的圆心为，与轴交于点，线段的中点为，轴，由条件可知，，，所以，
由焦半径公式可知，即，所以代入抛物线方程，
解得：或.
故选：D
8．B
【分析】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案.
【详解】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：，
则，
，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是.
故选：B.
9．AD
【分析】根据函数图像直接确定A，设结合，确定，利用点的坐标确定的表达式，然后代入求值即得答案.
【详解】由函数的图象可知,
设，由可得，
令，即，
结合图像可得，
则，即，故A正确，B错误；
将代入，即有，且为函数下降零点，
所以，故，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，故C错误，D正确；
故选：AD.
10．BD
【分析】根据统计数据的中位数、众数、平均数和方差的数字特征，逐个判定，即可求解.
【详解】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，
根据数据得出，家底连续5天的日平均温度的记录数据可能为，
其连续5天的日平均温度均不低于22，可确定甲地进行夏季；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24，
当5数据为，可知其连续5天的日温度有低于22，所以不确定；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，
若有低于22，假设取21，此时方程就超出了，可知其连续5天的日温度均不低于22，
如：，这组数据的均值为26，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，所以可判定丙地进入夏季.
故选：BD.
11．ABD
【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.
【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，则正确；
对于选项，∵，∴，∴,
∴的周期为，∴，则正确；
对于选项，若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；
对于选项，将代入，得，
将，代入，得，
同理可知，
又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，
∴
，则正确.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】对A，根据等轴双曲线的离心率即可判断；对B，结合渐近线与点到直线的距离即可；对C，由，结合即可；对D结合点差法即可.
【详解】对A，等轴双曲线的离心率为，所以A正确，
对B：双曲线的渐近线为，设，
到两条渐近线的距离为，
则，所以B错.
对C：， ，
所以，C正确.
对D：方法1：设与双曲线及其渐近线依次交于，，，
设设，，则，
由得中点的横坐标为
由得中点的横坐标为，
所以和的中点重合，即为双曲线弦的中点，由点差法得
，
，
设直线的斜率为，斜率为
则，所以D正确.
方法2：设，，，
由，
∴，所以D正确.
故选：ACD
13．3
【分析】根据二项式展开式通项公式即可求得.
【详解】的展开式中的项为，则，故.
故答案为：
14．
【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得，再利用正切的二倍角公式即可得到结果.
【详解】由直线方程，得直线斜率，
所以.
故答案为：
15．
【解析】画出分段函数的图象，构造新函数，利用函数的导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】作出函数的图象，如图所示，
由可得，所以，即，
不妨设，则，
令，则，
所以，令，则，
所以当时，；当时，，
当时，取得最大值.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了函数的图象，以及利用导数求解函数的单调性和最值及应用，着重考查数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题.
16．
【详解】在等比数列中，由，又，且公比小于，，因此，由，得到是取中最大值，是数列中的最小项，又单调递减，单调递增，当时，，即是数列中的最小项，则必须满足，即得，当时，，即，是数列中的最小项，则必须满足，即得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.
17．(1)
(2).
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简，再由余弦定理可得，再由正弦定理求即可；
（2）由三角恒等变换化简后，利用正弦型函数的性质求最大值即可得解.
【详解】（1）由可得：
，
即：.
即，又，∴，
由正弦定理得：.
（2）由题意，
，
∵，
∴时，取得最大值.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由周期可求出，再将坐标代入函数中可求出，从而可求出的解析式；
（2）恰为的最大值，且此时，可得，，再由题意得，化简可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）周期为，，
图象经过，，
，又，∴
，
（2）的最大值，
，得，
∵，∴，∴，
，
，
，即，
∴，
，当且仅当，即时取等号，
又，即当且仅当，时取等号，
所以的最小值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据通项与前n项和的关系可得，再根据求解即可；
（2）先化简，再根据求解即可.
【详解】（1）当时，，所以．
当时，，．
两式相减得：，即．
故.
故.
（2）因为，令，则，
∴{bn}为等差数列．
∴．
20．（I）语文平均分高些；（II）语文成绩优秀人数为人，数学成绩优秀人数为人；（III）答案见解析．
【详解】试题分析：（I）根据组中值与对应区间概率的乘积和计算平均数，再比较大小，（II）先求优秀的概率，再根据频数等于总数与频率的乘积得结果，（III）先确定随机变量取法，再根据组合数计算对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望．
试题解析：（I）数学成绩的平均分为
根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些．
（II）语文成绩优秀的概率为，
数学成绩优秀的概率为，
语文成绩优秀人数为人，数学成绩优秀人数为人
（III）语文数学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，所有可能的取值为0，1，2，3，
，
，
的分布列为
数学期望．
21．(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；
②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值.
【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：①设点、.
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，则，
所以，
，解得，
即直线的方程为，故直线过定点.
②由韦达定理可得，，
所以，
，
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
22．(1)
(2)
【分析】（1）求得由已知可得在恒成立，即，恒成立，构造函数，利用导数研究单调性，进而可求得结果；
（2）由是方程的两个实数根，求得，将，两边取自然对数化简可得
，令，则在恒成立，
令，利用导数研究单调性，即可求正数的取值范围．
【详解】（1），，
因为函数在上为增函数，
所以，恒成立，即，恒成立，
记，则，由，由，
所以在上递增，在上递减，又当时，，
所以，即实数的最大值为；
（2）因为是的两个极值点，所以是方程的两个实数根，由．
因为，两边取自然对数得，
即，
令，则在恒成立，
所以在恒成立，
令，则．
①当，即时，，在上递增，所以恒成立，满足题意；
②当时，在上递增，在上递减，
所以当时，，
所以，在不能恒成立，不满足题意，
综上，的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用，，，从而可得不等式，再将代入不等式可得，将双变量问题转化为单变量问题，即可利用导函数的单调性、最值关系求解.