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黑龙江省双鸭山市第三十一中学等校2023-2024学年高三第二次模拟 数学试题
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这是一份黑龙江省双鸭山市第三十一中学等校2023-2024学年高三第二次模拟 数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知且，若函数为偶函数，则实数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.为了学习､宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史､知国情､圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生26人，女生24人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为82，86，则该班成绩的平均分是（ ）
A.82 D.84
4.已知向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知且，若函数为偶函数，则实数（ ）
A.3 B.9 C. D.
6.已知点是圆上的动点，点，则当最大时，（ ）
A. B.1 C. D.
7.函数的部分图象如图所示，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，若过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A.的离心率为 B.
C.点到直线的距离为 D.的周长为8
10.已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A.该正方体外接球的表面积为
B.直线与所成角的余弦值为
C.平面截正方体所得截面为等腰梯形
D.点到平面的距离为
11.已知函数，则（ ）
A.函数没有零点
B.直线是函数与图象的公共切线
C.当时，函数的图象在函数图象的下方
D.当时，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知的二项展开式中，项的系数是18，则的值为__________.
13.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的高为__________.，体积为__________.
14.已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求函数的最值.
16.（15分）
2023年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合产值如下：
年份代码，综合产值（单位：亿元）
（1）请通过样本相关系数，推断与之间的相关程度；
（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱.）
（2）求出关于的经验回归方程，并预测2024年该省刺梨产业的综合产值.
参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.
参考数据：.
17.（15分）
如图，四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
18.（17分）
已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若点，过点的直线交的轨迹于两点，求的最小值.
19.（17分）
已知集合是公比为2的等比数列且构成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为.
①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值；
②若，数列的前5项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列.
2023~2024学年度高三年级第二次模拟·数学
参考答案､提示及评分细则
1.D ，所以在复平面内的对应点为，在第四象限.
2.A 由，得，则，由，得，则.因为，所以.
3.C 根据题意，可得该班成绩的平均分是.
4.A 由已知得，，即0，解得，所以“”是“”的充分不必要条件.
5.B 已知且，若函数为偶函数，则有，即，化简得，所以.
6.B 圆的圆心为，半径为1，点，如图所示：则当最大时，与圆相切，连接，可知，，故，所以.
7.C 由图可知，所以.因为函数的图象过点，且在的单调增区间上，所以，因为，所以.令，得或，所以或，又，所以或或或或，所以函数在区间内有5个零点.
8.D 根据回答第题时有答对､答错两种情况，写出回答第个问题时答错的概率，回答第题时答错的概率，所以，由题意知，则，所以是首项为､公比为的等比数列，所以，即.显然数列递减，所以当时，，所以的最小值为.
9.ABD 由题知，，所以离心率，A正确；，所以为等边三角形，，B正确；因为直线的方程为，所以点到直线的距离，错误；由题知直线为的角平分线，则点关于直线对称，所以的周长8，即的周长为正确.
10.ABD 由题知，该正方体的体对角线长为，故外接球的半径为，表面积为正确；
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图①），则，，故，则
，故直线与所成角的余弦值是，正确；
如图②，取的中点，连接，因为是中点，故，且，所以四边形为平行四边形，则，在上取点，使得，因为，所以，故，故四边形即为平面截正方体所得截面，又与平面不平行，故与不平行，故四边形为梯形，又，所以梯形不为等腰梯形，错误；
如图③，，设平面的法向量为，则令，则，故，则点到平面的距离为，D正确.
11.BC ，在区间上，单调递减；在区间上单调递增，由于，所以函数只有一个零点，故A错误；恒成立，所以恒成立，且当时，，所以当时，函数的图象在函数图象的下方，故C正确；，，所以函数与图象在点处的切线方程均为，即，故B正确；当时，取，故D错误.
12.3 展开式的通项为，令，得，所以项的系数为，所以.
13.（3分）（2分） 作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得：
，所以.
设底面圆的半径为，则有，解得，
所以这个圆锥的高，体积.
14. 由，得，则双曲线，
，渐近线，不妨设直线，
，联立方程消去得
，则，可得，解得，可得，由双曲线的定义可得，则，可得，所以的周长.
15.解：（1）.
令，已知，则，
所以函数在上单调递增.
又，所以当时，；当时，，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）由（1）知，时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，无最大值.
16.解：（1）由题意，，
所以，
因为，所以变量和的线性相关程度很强.
（2）由（1）知，，
所以，
当，则亿元.
预测2024年该省刺梨产业的综合产值为17.7亿元.
17.（1）证明：因为，所以，
在上取一点使得，由题意易知四边形为矩形，所以且，所以.
因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）解：过点作，垂足为，则平面.
如图，以为坐标原点，以直线为轴，以过点垂直于平面
的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
由（1）知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，得令，得，则，
设二面角的平面角为，则，
故，即二面角的正弦值为.
（若证得是二面角的平面角，求出的正弦值也给分）
18.解：（1）设动圆圆心为，
到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2，
则，化简得；
所以动圆圆心的轨迹方程为.
（2）设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
与的轨迹方程联立得消去得，
由题意，所以.
由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得
所以
，
所以当时，的最小值为；
当直线斜率不存在时，.
由抛物线定义知.
综上，的最小值为.
19.解：（1）的公比为2，由构成等比数列得：
，
解得，所以数列的通项公式为.
（2）①，
所以
，
而，
所以的最大值为32.
②由已知，共四项在前9项中，
所以在前9项中，而不在.
考虑在之间的项，
若之间无的项，则，公比为为第四项与已知矛盾；
若之间有一项，则成等比数列，所以公比为满足条件，
此时；
若之间至少有中的两项，则的公差，
此时，与已知矛盾；
综上，满足条件.年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
综合产值
1.5
2
3.5
8
15
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.为了学习､宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史､知国情､圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生26人，女生24人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为82，86，则该班成绩的平均分是（ ）
A.82 D.84
4.已知向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知且，若函数为偶函数，则实数（ ）
A.3 B.9 C. D.
6.已知点是圆上的动点，点，则当最大时，（ ）
A. B.1 C. D.
7.函数的部分图象如图所示，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8.某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，若过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A.的离心率为 B.
C.点到直线的距离为 D.的周长为8
10.已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A.该正方体外接球的表面积为
B.直线与所成角的余弦值为
C.平面截正方体所得截面为等腰梯形
D.点到平面的距离为
11.已知函数，则（ ）
A.函数没有零点
B.直线是函数与图象的公共切线
C.当时，函数的图象在函数图象的下方
D.当时，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知的二项展开式中，项的系数是18，则的值为__________.
13.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的高为__________.，体积为__________.
14.已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求函数的最值.
16.（15分）
2023年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合产值如下：
年份代码，综合产值（单位：亿元）
（1）请通过样本相关系数，推断与之间的相关程度；
（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱.）
（2）求出关于的经验回归方程，并预测2024年该省刺梨产业的综合产值.
参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.
参考数据：.
17.（15分）
如图，四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
18.（17分）
已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若点，过点的直线交的轨迹于两点，求的最小值.
19.（17分）
已知集合是公比为2的等比数列且构成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为.
①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值；
②若，数列的前5项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列.
2023~2024学年度高三年级第二次模拟·数学
参考答案､提示及评分细则
1.D ，所以在复平面内的对应点为，在第四象限.
2.A 由，得，则，由，得，则.因为，所以.
3.C 根据题意，可得该班成绩的平均分是.
4.A 由已知得，，即0，解得，所以“”是“”的充分不必要条件.
5.B 已知且，若函数为偶函数，则有，即，化简得，所以.
6.B 圆的圆心为，半径为1，点，如图所示：则当最大时，与圆相切，连接，可知，，故，所以.
7.C 由图可知，所以.因为函数的图象过点，且在的单调增区间上，所以，因为，所以.令，得或，所以或，又，所以或或或或，所以函数在区间内有5个零点.
8.D 根据回答第题时有答对､答错两种情况，写出回答第个问题时答错的概率，回答第题时答错的概率，所以，由题意知，则，所以是首项为､公比为的等比数列，所以，即.显然数列递减，所以当时，，所以的最小值为.
9.ABD 由题知，，所以离心率，A正确；，所以为等边三角形，，B正确；因为直线的方程为，所以点到直线的距离，错误；由题知直线为的角平分线，则点关于直线对称，所以的周长8，即的周长为正确.
10.ABD 由题知，该正方体的体对角线长为，故外接球的半径为，表面积为正确；
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图①），则，，故，则
，故直线与所成角的余弦值是，正确；
如图②，取的中点，连接，因为是中点，故，且，所以四边形为平行四边形，则，在上取点，使得，因为，所以，故，故四边形即为平面截正方体所得截面，又与平面不平行，故与不平行，故四边形为梯形，又，所以梯形不为等腰梯形，错误；
如图③，，设平面的法向量为，则令，则，故，则点到平面的距离为，D正确.
11.BC ，在区间上，单调递减；在区间上单调递增，由于，所以函数只有一个零点，故A错误；恒成立，所以恒成立，且当时，，所以当时，函数的图象在函数图象的下方，故C正确；，，所以函数与图象在点处的切线方程均为，即，故B正确；当时，取，故D错误.
12.3 展开式的通项为，令，得，所以项的系数为，所以.
13.（3分）（2分） 作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得：
，所以.
设底面圆的半径为，则有，解得，
所以这个圆锥的高，体积.
14. 由，得，则双曲线，
，渐近线，不妨设直线，
，联立方程消去得
，则，可得，解得，可得，由双曲线的定义可得，则，可得，所以的周长.
15.解：（1）.
令，已知，则，
所以函数在上单调递增.
又，所以当时，；当时，，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）由（1）知，时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，无最大值.
16.解：（1）由题意，，
所以，
因为，所以变量和的线性相关程度很强.
（2）由（1）知，，
所以，
当，则亿元.
预测2024年该省刺梨产业的综合产值为17.7亿元.
17.（1）证明：因为，所以，
在上取一点使得，由题意易知四边形为矩形，所以且，所以.
因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）解：过点作，垂足为，则平面.
如图，以为坐标原点，以直线为轴，以过点垂直于平面
的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
由（1）知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，得令，得，则，
设二面角的平面角为，则，
故，即二面角的正弦值为.
（若证得是二面角的平面角，求出的正弦值也给分）
18.解：（1）设动圆圆心为，
到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2，
则，化简得；
所以动圆圆心的轨迹方程为.
（2）设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，
与的轨迹方程联立得消去得，
由题意，所以.
由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得
所以
，
所以当时，的最小值为；
当直线斜率不存在时，.
由抛物线定义知.
综上，的最小值为.
19.解：（1）的公比为2，由构成等比数列得：
，
解得，所以数列的通项公式为.
（2）①，
所以
，
而，
所以的最大值为32.
②由已知，共四项在前9项中，
所以在前9项中，而不在.
考虑在之间的项，
若之间无的项，则，公比为为第四项与已知矛盾；
若之间有一项，则成等比数列，所以公比为满足条件，
此时；
若之间至少有中的两项，则的公差，
此时，与已知矛盾；
综上，满足条件.年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
综合产值
1.5
2
3.5
8
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