初中数学青岛版九年级上册4.1 一元二次方程当堂检测题

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这是一份初中数学青岛版九年级上册4.1 一元二次方程当堂检测题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2022山东聊城模拟)已知关于x的方程(a-3)x|a-1|+x-1=0是一元二次方程,则a的值是 ( )
A.-1 B.2 C.-1或3 D.3
2.(2022山东青岛期中)根据下列表格的对应值,可判断方程x2+12x-15=0必有一个解x满足( )
A.-1C.1.13.若关于x的一元二次方程(m-3)x2+x+m2-3=0有一个解为x=0,则m的值是( )
A.-3 B.3 C.3 D.±3
4.若(a2+b2+3)(a2+b2-3)=55,则a2+b2的值为( )
A.8 B.-8
C.±8 D.6或8
5.若x=−(−2)±(−2)2−4×3×(−1)2×3是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程是( )
A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0
C.-x2-2x+3=0 D.3x2-2x-1=0
6.(2022四川宜宾中考)若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A.a≠0 B.a>-1且a≠0
C.a≥-1且a≠0 D.a>-1
7.(2022内蒙古呼和浩特中考)已知x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则代数式x13-
2 022x1+x22的值是( )
A.4 045 B.4 044 C.2 022 D.1
8.(2023山东菏泽郓城期中)我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4 860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( )
A.8% B.9% C.10% D.11%
9.已知一个两位数等于它个位上的数字的平方,并且十位上的数字比个位上的数字小3,则这个两位数为( )
A.25 B.25或36
C.36 D.-25或-36
10.【数学文化】(2023山东德州庆云校级月考)欧几里得的《原本》中记载,形如x2+2ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=a,AC=b,再在斜边AB上截取BD=a,则该方程的一个正根是( )
A.AD的长 B.AC的长
C.BC的长 D.CD的长
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2022广东中考)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a= .
12.(2023广东深圳龙岗校级期末)规定:在实数范围内定义一种运算“◎”,其规则为a◎b=a(a+b),则方程(x-2)◎7=0的根为 .
13.【一题多解】(2023山东菏泽东明期中)若一元二次方程(x-3)2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长,则Rt△ABC的面积是 .
14.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=2,c=1,解出其中一个根是x=1.他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1,则原方程的根的情况是 .
15.【跨学科·生物】生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,那么全组有名同学.
16.(2023山东泰安模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,AC=13 cm,点M从点A出发沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,点N从点B出发沿边BC向点C以1 cm/s的速度移动.当一个点先到达终点时,另一个点也停止运动,当△MBN的面积为9 cm2时,点M,N的运动时间为 .
三、解答题(共52分)
17.(8分)解下列方程:
(1)(x-3)(x+1)=x-3;
(2)x2+4x-3=0.
18.(2023海南东方港务中学月考)(6分)已知|2a+b|与3b+12互为相反数.
(1)求a、b的值;
(2)解关于x的方程:ax2+4bx-2=0.
19.(2023山东菏泽东明校级月考)(9分)关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+2m=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1、x2是方程的两个实数根,且x1+x2+x1x2=m2-4m,求m的值.
20.(2023河南信阳光山期末)(9分)已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求出满足m的取值范围的最小整数值m,并求出此时方程的两根.
21.【国防科技】(2023四川成都天府新区期末)(9分)2022年11月29日,神舟十五号发射升空,中国首次实现空间站三船三舱构型,以及6名航天员同时在轨驻留.某网店为满足航空航天爱好者的需求,特推出了“中国空间站”模型.已知该模型平均每天可售出20个,每个盈利40元.为了扩大销售,该网店准备适当降价,经过一段时间测算,每个模型每降低1元,平均每天可以多售出2个模型.
(1)若每个模型降价4元,平均每天可以售出多少个模型?此时每天获利多少元?
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提下,要使“中国空间站”模型每天获利1 200元,则每个模型应降价多少元?
22.【新独家原创】(11分)我们知道,当方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2时,x1+x2=-p,x1x2=q.
请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;
(2)已知a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求ab+ba的值;
(3)已知a2-3a-5=0,5b2+3b-1=0,求a2+1b2的值.
答案全解全析
1.A ∵关于x的方程(a-3)x|a-1|+x-1=0是一元二次方程,∴a-3≠0且|a-1|=2,解得a=-1.
故选A.
2.C ∵x=1.1时,x2+12x-15=-0.59<0;x=1.2时,x2+12x-15=0.84>0,∴方程x2+12x-15=0必有一个解x满足1.13.A 把x=0代入(m-3)x2+x+m2-3=0,得m2-3=0,解得m=±3.
∵m-3≠0,∴m≠3,∴m=-3.故选A.
4.A ∵(a2+b2+3)(a2+b2-3)=55,∴(a2+b2)2-9=55,∴(a2+b2)2=64.∵a2+b2≥0,∴a2+b2=8.故选A.
5.D ∵x=−(−2)±(−2)2−4×3×(−1)2×3是某个一元二次方程的根,∴此一元二次方程的二次项系数为3,一次项系数为-2,常数项为-1,∴这个一元二次方程是3x2-2x-1=0.故选D.
6.B 由题意,得22+4a>0,且a≠0,∴a>-1且a≠0.故选B.
7.A ∵x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,∴x1+x2=1,x1x2=-2 022,x12-x1-2 022=0,即x12-2 022=x1,∴x13-2 022x1+x22=x1(x12-2 022)+x22=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1+4 044=4 045.
故选A.
8.C 设平均每次下调的百分率为x,由题意,得6 000(1-x)2=4 860,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去).
∴平均每次下调的百分率为10%.故选C.
9.B 设十位上的数字为x,则个位上的数字为x+3,由题意,得10x+x+3=(x+3)2,整理,得x2-5x+6=0,解得x=2或x=3,∴x+3=5或x+3=6,∴这个两位数为25或36.故选B.
10.A 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2.
∵AC=b,BD=BC=a,∴b2+a2=(AD+a)2=AD2+2a·AD+a2,∴AD2+2a·AD=b2,
∴AD的长是方程x2+2ax=b2的一个正根.故选A.
11.1
解析把x=1代入方程x2-2x+a=0,得1-2+a=0,解得a=1.
12.x1=2,x2=-5
解析由题意,得(x-2)(x-2+7)=0,∴(x-2)·(x+5)=0,∴x-2=0或x+5=0,∴x1=2,x2=-5.
13.4
解析解法一:【直接开平方法】
∵(x-3)2=1,∴x-3=±1,∴x1=4,x2=2,∴SRt△ABC=12x1·x2=12×4×2=4.
解法二:【韦达定理法】由(x-3)2=1,得x2-6x+8=0.设一元二次方程(x-3)2=1的两根为α、β(α>β),则α·β=8,∴SRt△ABC=12α·β=12×8=4.
14.没有实数根
解析由题意,得x=1为方程2x2+(b-1)x+1=0的一个根.设此方程的另一根为t,则1+t=-b−12,1×t=12,解得t=12,b=-2,则原方程为2x2-2x+1=0,∴Δ=(-2)2-4×2×1=-4<0,∴原方程没有实数根.
15.14
解析设全组有x名同学,则每名同学所赠送的标本为(x-1)件,那么x名同学共赠送x(x-1)件,则x(x-1)=182,整理,得x2-x-182=0,解得x1=-13(不合题意,舍去),x2=14.故全组共有14名同学.
16.3 s
解析在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,AC=13 cm,
∴BC=AC2−AB2=132−122=5(cm).
当运动时间为t s(0≤t≤5)时,AM=2t cm,BN=t cm,
∴BM=(12-2t)cm,由题意,得12BN·BM=9,即12·t(12-2t)=9,整理,得t2-6t+9=0,解得t1=t2=3,
∴点M,N的运动时间为3 s.
17.解析 (1)∵(x-3)(x+1)=x-3,
∴(x-3)(x+1)-(x-3)=0,
∴(x-3)(x+1-1)=0,
∴x-3=0或x=0,∴x1=3,x2=0.
(2)∵x2+4x-3=0,∴x2+4x=3,
∴x2+4x+4=4+3,∴(x+2)2=7,
∴x+2=±7,∴x1=-2+7,x2=-2-7.
18.解析 (1)∵|2a+b|与3b+12互为相反数,
∴|2a+b|+3b+12=0,
∴2a+b=0,3b+12=0,
解得a=2,b=-4.
(2)由(1)知a=2,b=-4,
∴方程为2x2-16x-2=0,
整理,得x2-8x-1=0.
∴Δ=(-8)2-4×1×(-1)=68>0,
∴x=8±2172=4±17,
∴x1=4+17,x2=4-17.
19.解析 (1)证明:∵Δ=(m+4)2-4×1×2m=m2+8m+16-8m=m2+16>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)由题意,得x1+x2=-(m+4),x1x2=2m,
∵x1+x2+x1x2=m2-4m,
∴-(m+4)+2m=m2-4m,解得m=1或m=4.
∴m的值为1或4.
20.解析 (1)∵关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-2(m+1)]2-4×1×(m2-3)=8m+16>0,
解得m>-2.
∴实数m的取值范围是m>-2.
(2)由题意得m=-1.
把m=-1代入x2-2(m+1)x+m2-3=0,得
x2-2=0,解得x1=2,x2=-2.
21.解析 (1)20+2×4=20+8=28(个),(40-4)×28=36×28=1 008(元),
∴若每个模型降价4 元,平均每天可以售出28个模型,此时每天获利1 008 元.
(2)设每个模型降价x元,则每个模型可盈利(40-x)元,平均每天可售出(20+2x)个,由题意,得(40-x)·(20+2x)=1 200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.又∵每个模型盈利不少于25元,∴x=10.∴每个模型应降价10元.
22.解析 (1)设方程x2+mx+n=0(n≠0)的两个根分别是x1,x2,则x1+x2=-m,x1x2=n.
∴1x1+1x2=x1+x2x1·x2=-mn,1x1·1x2=1x1·x2=1n.
∴这个一元二次方程可以是x2+mnx+1n=0.
(2)∵a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,
∴a,b是x2-15x-5=0的两个根.
当a≠b时,a+b=15,ab=-5,
∴ab+ba=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=152−2×(−5)−5=-47.
当a=b时,ab+ba=1+1=2.
(3)当ab≠1,即a≠1b时,
∵5b2+3b-1=0,
∴5+3·1b-1b2=0,即1b2-3·1b-5=0.
∵a2-3a-5=0,
∴a,1b是方程x2-3x-5=0的两个根,
∴a+1b=3,a·1b=-5,
∴a2+1b2=a+1b2-2a·1b=19.
当ab=1,即a=1b时,
∵a2-3a-5=0,∴a=3±292,
∴a2+1b2=2a2=2×3±2922=19±329.
综上可知,a2+1b2的值为19,19+329,19-329.
x
-1
1
1.1
1.2
x2+12x-15
-26
-2
-0.59
0.84

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