初中数学青岛版九年级上册2.4 解直角三角形当堂检测题

这是一份初中数学青岛版九年级上册2.4 解直角三角形当堂检测题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023山东潍坊诸城校级月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,tan B=2,则AC的长为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.(2022广东佛山模拟)已知tan A=1.5,则∠A的度数所属范围是( )
A.30°<∠A<45° B.45°<∠A<60°
C.60°<∠A<75° D.75°<∠A<90°
3.(2022山东潍坊期末)如图,为方便行人推车过天桥,某市政府在10 m高的天桥两端分别修建了40 m长的斜道,用科学计算器计算这条斜道的倾斜角∠A,下列按键顺序正确的是 ( )
A.2ndF sin 0 · 2 5 =
B.sin 2ndF 0 · 2 5 =
C.sin 0 · 2 5 =
D.2ndF cs 0 · 2 5 =
4.【新独家原创】在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且有|tan B-1|+(2cs A-2)2=0,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
5.【新独家原创】在平面直角坐标系中,点A(sin 45°,-tan 60°)关于原点对称的点的坐标是 ( )
A.−12,−32 B.12,12 C.12,32 D.−22,3
6.(2022山东威海乳山期末)如图,点A是第二象限内一点,OA=2,且OA与x轴正半轴的夹角为120°,则点A的坐标为 ( )
A.(3,1) B.(-3,1) C.(1,3) D.(-1,3)
7.(2023山东泰安模拟)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则sin∠BAC的值为 ( )
A.97 B.9130130 C.33 D.3
8.(2022山东菏泽曹县期末)如图,△ABC中,sin B=13,tan C=22,AB=3,则AC的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.5
9.【新情境】(2022河南兰考二模)如图,两根木条钉成一个角形框架∠AOB,且∠AOB=120°,AO=BO=4 cm,将一根橡皮筋两端固定在点A,B处,拉展成线段AB,在平面内,拉动橡皮筋上的一点C,当四边形OACB是菱形时,橡皮筋再次被拉长了 ( )
A.2 cm B.4 cm C.(43-4)cm D.(8-43)cm
10.(2022山东济南一模)如图,为了测量某建筑物BC的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡AD行走100 m至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°,建筑物底端B的俯角为45°,点A、B、C、D、E在同一平面内,斜坡AD的坡度i=1∶43.根据以上数据,计算出建筑物BC的高度约为 ( )
(结果精确到1 m.参考数据:sin 59°≈0.86,cs 59°≈0.52,tan 59°≈1.66)
A.158 m B.161 m C.159 m D.160 m
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.【新独家原创】计算:sin260°+12cs 60°-1tan45°= .
12.(2022山东滨州中考)在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sin A的值为 .
13.(2023山东烟台模拟)如图所示,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.连接AC,AC⊥CD,若sin∠ACB=13,则AD的长是 .
14.(2023山东泰安新泰模拟)如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则AGAF的值为 .
15.如图,在△ABC中,BC=6+2,∠C=45°,AB=2AC,则AC的长为 .
16.(2023山东潍坊潍城期中)如图,小莹沿一条笔直的小路自西向东步行,小莹在A处测得旗杆C在北偏东60°方向,30分钟后小莹到达B处,测得旗杆C在北偏西45°方向,小莹在这条小路上离旗杆最近的距离是1 000 米,则小莹步行的速度为 米/分钟.(参考数据:3≈1.7)
三、解答题(共52分)
17.【新情境·三角尺】(7分)如图1,在综合实践活动中,同学们制作了两块直角三角形硬纸板,一块含有30°角,一块含有45°角,并且有一条直角边是相等的.现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上,让它们的直角完全重合.如图2,若相等的直角边AC长为12 cm,求另一条直角边没有重叠部分BD的长(结果保留根号).
18.(7分)某游乐场部分平面图如图所示,C、E、A在同一条直线上,D、E、B在同一条直线上,测得A处与E处的距离为80 m,C处与D处的距离为34 m,∠C=90°,∠ABE=90°,∠BAE=30°.(参考数据:2≈1.4,3≈1.7)
(1)求旋转木马E处到出口B处的距离;
(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数).
19.(9分)如图所示的是一座人行天桥的示意图,天桥的高度是10 米,CB⊥DB,坡面AC的坡角为45°.为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面DC的坡度为i=1∶3.若新坡角外需留3 米宽的人行道,则离原坡角顶点(A点)10 米的建筑物是否需要拆除?并说明理由.(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
20.(9分)如图,某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造.供水站M在笔直公路AD上,测得供水站M在小区A的南偏东60°方向,在小区B的西南方向,小区A、B之间的距离为300(3+1)米,求供水站M分别到小区A、B的距离.(结果保留根号)
21.【项目式学习试题】(2022辽宁盘锦中考)(10分)如图,某数学小组要测量学校路灯P—M—N的顶部到地面的距离,他们借助皮尺、测角仪进行测量,测量结果如下:
计算路灯顶部到地面的距离PE的长.(结果精确到0.1 米.参考数据:cs 31°≈0.86,tan 31°≈0.60,cs 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
22.【实践探究题】(2022山东济宁中考)(10分)
知识再现
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=ac,sin B=bc,
∴c=asinA,c=bsinB.∴asinA=bsinB.
拓展探究
如图2,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)请探究asinA,bsinB,csinC之间的关系,并写出探究过程.
解决问题
(2)如图3,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离.
答案全解全析
1.D 在Rt△ABC中,∵tan B=ACBC,∴AC=tan B·BC=2×4=8.故选D.
2.B ∵tan 45°=1,tan 60°=3,tan A=1.5,
∴45°<∠A<60°.故选B.
3.A sin A=BCAC=1040=0.25.故选A.
4.D ∵|tan B-1|+(2cs A-2)2=0,
∴tan B=1,cs A=22,∴∠B=45°,∠A=45°,
∴∠C=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.故选D.
5.D ∵sin 45°=22,tan 60°=3,∴点(sin 45°,-tan 60°)关于原点对称的点的坐标是−22,3.故选D.
6.D 如图,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,
由题意得∠AOB=180°-120°=60°.在Rt△AOB中,∵OA=2,
∴OB=AO·cs 60°=2×12=1,AB=AO·sin 60°=2×32=3,∴点A的坐标为(-1,3).故选D.
7.B 如图,过B作BH⊥AC于H,过点A作AD⊥BC于点D,由勾股定理,得AC=22+32=13,AB=12+32=10.
∵S△ABC=12BC·AD=12AC·BH,∴12×3×3=12AC·BH,∴BH=913=91313,∴sin∠BAC=BHAB=9131310=9130130.故选B.
8.C 如图,过A作AD⊥BC于D,则∠ADC=∠ADB=90°.
∵tan C=22=ADCD,sin B=13=ADAB,∴AD=22CD,AB=3AD.∵AB=3,∴AD=1,∴CD=2.在Rt△ADC中,由勾股定理,得AC=AD2+CD2=12+(2)2=3.故选C.
9.D 如图,连接OC,交AB于点E.
∵四边形OACB是菱形,∴BC=AC=AO=4 cm,OC⊥AB,BE=12AB,∠BOE=12∠AOB=60°.
在Rt△BOE中,∵BO=4 cm,∠BOE=60°,sin∠BOE=BEOB,
∴BE=sin 60°×4=32×4=23(cm),∴AB=2BE=43 cm,
∴BC+CA-AB=4+4-43=(8-43)cm.故选D.
10.D 如图,作DH⊥AB于H,延长DE交BC于F.
在Rt△ADH中,∵AD=100 m,DH∶AH=1∶43,∴DH=60 m.∵四边形DHBF是矩形,∴BF=DH=60 m.在Rt△EFB中,∵∠BEF=45°,∴EF=BF=60 m.在Rt△EFC中,CF=EF·tan 59°,∴CF≈60×1.66=99.6(m),∴BC=BF+CF=159.6≈160(m).故选D.
11.0
解析 原式=322+12×12-11=34+14-1=0.
12.1213
解析 ∵∠C=90°,AC=5,BC=12,
∴AB=AC2+BC2=52+122=13,∴sin A=1213.
13.10
解析 在Rt△ABC中,∵AB=2,sin∠ACB=ABAC=13,∴AC=3AB=6.
在Rt△ADC中,AD=AC2+CD2=62+82=10.
14.32
解析 在△CAD与△ABE中,∵AC=AB,∠CAD=∠ABE=60°,AD=BE,
∴△CAD≌△ABE,∴∠ACD=∠BAE
.∵∠BAE+∠CAE=60°,∴∠ACD+∠CAE=60°,∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°.
在Rt△AFG中,sin∠AFG=AGAF,∴AGAF=sin 60°=32.
15.2
解析 如图,作AD⊥BC,垂足为点D.
设AC=x,则AB=2x.在Rt△ACD中,AD=AC·sin C=22x,CD=AC·cs C=22x.在Rt△ABD中,AB=2x,AD=22x,∴BD=AB2−AD2=62x,∴BC=BD+CD=62x+22x=6+2,解得x=2.∴AC的长为2.
16.90
解析 如图,作CD⊥AB于点D,
由题意得CD=1 000 米,∠CAD=90°-60°=30°,∠CBD=90°-45°=45°.
∵tan∠CAD=CDAD,tan∠CBD=CDBD,∴tan 30°=1000AD,tan 45°=1000BD,
∴AD≈1 700 米,BD=1 000 米,∴AB=1 700+1 000=2 700(米),
∴小莹步行的速度为2 700÷30=90(米/分钟).
17.解析 在Rt△ABC中,∵AC=12 cm,∠ABC=45°,∴BC=AC=12 cm.
在Rt△ACD中,∵AC=12 cm,∠DAC=60°,∴tan∠DAC=CDAC,
∴CD=AC·tan∠DAC=12×tan 60°=123(cm),
∴BD=CD-BC=(123-12)cm.
∴另一条直角边没有重叠部分BD的长为(123-12)cm.
18.解析 (1)在Rt△ABE中,
∵∠BAE=30°,∴BE=12AE=12×80=40(m).
∴旋转木马E处到出口B处的距离为40 m.
(2)在Rt△ABE中,∵∠BAE=30°,∴∠AEB=90°-30°=60°,
∴∠CED=∠AEB=60°.
在Rt△CDE中,∵CD=34 m,∴DE=CDsin∠CED=3432≈40(m),
∴BD=DE+BE=40+40=80(m).
∴海洋球D处到出口B处的距离约为80 m.
19.解析 需要拆除,理由如下:
∵CB⊥AB,∠CAB=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形.
∵BC=10 米,∴AB=BC=10 米.
在Rt△BCD中,新坡面DC的坡度i=1∶3,
∴tan∠CDB=33,∴∠CDB=30°,
∴DC=2BC=20 米,∴BD=CD2−BC2=103 米,
∴AD=BD-AB=(103-10)米≈7.32 米,
∵3+7.32=10.32>10,∴需要拆除.
20.解析 如图,作MN⊥AB于N.
在Rt△AMN中,设 MN=x 米,∵∠ANM=90°,∠MAN=30°,
∴MA=2MN=2x 米,AN=MNtan30°=3MN=3x 米.
在Rt△BMN中,∵∠BNM=90°,∠MBN=45°,
∴BN=MN=x 米,MB=2MN=2x 米.
∵AN+BN=AB,
∴3x+x=300(3+1),解得x=300.
∴MA=2x=600 米,MB=2x=3002 米.
∴供水站M到小区A的距离是600 米,到小区B的距离是3002 米.
21.解析 如图,延长DA,交PE于点F,
则DF⊥PE,AD=BC=2 m,AB=CD=EF=1.6 m.
设AF=x m,则DF=AF+AD=(x+2)m.
在Rt△PFA中,∵∠PAF=58°,∴PF=AF·tan 58°≈1.6x m.
在Rt△PDF中,∵∠PDF=31°,∴tan 31°=PFDF=1.6xx+2≈0.6,
解得x=1.2,经检验,x=1.2是原方程的根,且符合题意,
∴PF=1.6x=1.92 m,
∴PE=PF+EF=1.92+1.6≈3.5(m).
∴路灯顶部到地面的距离PE的长约为3.5 米.
22.解析 (1)如图,作CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,
在Rt△ABE中,sin B=AEAB=AEc,
同理:sin B=CDBC=CDa,sin∠BAC=CDAC=CDb,sin∠BCA=AEAC=AEb,
∴AE=c·sin B,AE=b·sin∠BCA,CD=a·sin B,CD=b·sin∠BAC,
∴bsinB=csin∠BCA,asin∠BAC=bsinB,∴asin∠BAC=bsinB=csin∠BCA.
(2)在△ABC中,∵ABsinC=ACsinB,∠B=180°-∠A-∠C=180°-75°-60°=45°,
∴ABsin60°=60sin45°,∴AB=306 m.
∴点A到点B的距离为306 m.
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α=58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β=31°
测角仪到地面的距离
AB=DC=1.6 m
两次测量时测角仪之间的水平
距离
BC=2 m