沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形学情评估试卷（含答案解析）

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沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形学情评估试卷(满分150分,限时120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.(2023安徽淮南模拟)如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍,那么锐角A的正弦值、余弦值 (　　)A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的13C.没有变化D.不能确定2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是 (　　)A.cos 43°>cos 16°>sin 30°　　B.cos 16°>sin 30°>cos 43°C.cos 16°>cos 43°>sin 30°　　D.cos 43°>sin 30°>cos 16°3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos 50°,则锐角α的度数是 (　　)A.50°　　B.40°　　C.30°　　D.20°4.在△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则cos A的值为　 (　　)A.55　　B.255　　C.12　　D.25.(2023安徽阜阳质检)下列运算中,值为14的是 (　　)A.sin 45°×cos 45°　　B.tan 45°-cos230°C.tan30°cos60°　　 D.(tan 60°)-16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=β,CD⊥AB,垂足为D,那么下列线段的比值不一定等于sin β的是 (　　)A.ADBD　　B.ACAB　　C.ADAC　　D.CDBC　　　　7.(2023安徽池州月考)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则tan A的值是 (　　)A.55　　 B.12　　C.2　　 D.1058.【新考法】一配电房的示意图如图所示,它是一个轴对称图形,已知AB=3 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为 (　　)A.(4+3sin α)m　　 B.(4+3tan α)mC.4+3sinαm　　 D.4+3tanαm9.(2023安徽合肥庐江期末)如图,在△ABC中,sin B=12,AB=8,AC=5,且∠C为锐角,cos C的值是 (　　)A.35　　B.45　　C.32　　D.3410.【新情境·双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图,它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm,双翼的边缘AC=BD=64 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为 (　　)A.76 cm　　 B.(642+12)cmC.(643+12)cm　　 D.64 cm二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.如果tan α=1,那么锐角α=　　　度. 12.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BC=6,AC=8,设∠BCD=α,则tan α=　　　. 　13.如图,已知tan O=43,点P在边OA上,OP=5,点M、N在边OB上,PM=PN,如果MN=2,那么PM=　　　　. 14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,cos A=35,BC=12,D是AB的中点,过点B作线段CD的垂线,交CD的延长线于点E.(1)线段CD的长为　　　　; (2)cos∠DBE的值为　　　　. 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:2cos 30°-tan260°3tan45°+(sin60°−1)2.16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,某数学兴趣小组在尝试计算tan 15°时,采用以下方法:如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,设AC=1,则AB=2,BC=3,所以tan 15°=ACCD=12+3=2−3(2+3)×(2−3)=2-3,类比这种方法,计算tan 22.5°的值(画出计算所需图形,并用文字、计算说明).四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.(2021广东潮州中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB.(1)若AE=1,求△ABD的周长;(2)若AD=13BD,求tan∠ABC的值.18.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB,将它的上端A靠着墙面,下端B放在地面上,梯子与地面所成的角记为α,地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50°≤α≤75°时,人才能安全地使用这架梯子.(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时,人是否能安全地使用这架梯子?(2)当人能安全地使用这架梯子,且梯子顶端A离地面最高时,梯子开始下滑,如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止,梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示),此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.(参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26)　五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为53°和45°,已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为75米,又知此时地面气温为20 ℃,海拔每升高100米,气温会下降约0.6 ℃,试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.参考数据:sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈4320.【方程思想】李老师给班级布置了一个实践活动,测量某广场纪念碑的高度,使用卷尺和测角仪测量.如图,纪念碑设在1.2 m的石台上,他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22°,然后沿水平方向前进21 m,到达点N处,在点C处测得点A的仰角为45°,BM=CN=1.7 m,求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,2≈1.41)六、(本题满分12分)21.【主题教育·生命安全与健康】某校为检测师生体温,在校门安装了某型号测温门,如图,已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间,做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度,此时在额头B处测得A的仰角为20°,在地面M处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头C处测得A的仰角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36,3≈1.73,额头到地面的距离以身高计,计算结果精确到0.1 m)七、(本题满分12分)22.如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1∶3,AB=16米,AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.414,3≈1.732)八、(本题满分14分)23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量,活动过程如下:(1)[探究原理]制作测角仪时,将细线一端固定在量角器圆心O处,另一端系小重物G.测量时,使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①),绕点O转动量角器,使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②),此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由;　(2)[实地测量]如图③,公园广场上有一棵树,为测树高,同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ=60°,观测点与树的距离KH为5米,点O到地面的距离OK为1.5米,求树高PH;(3≈1.73,结果精确到0.1米)(3)[拓展探究]公园高台上有一凉亭,为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④),同学们经过讨论,决定先在水平地面上选取观测点E、F(E、F、H在同一直线上),分别测得点P的仰角为α、β,再测得E、F间的距离为m米,点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米.求PH(用α、β、m表示).答案全解全析1.C　Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍后,所得的三角形与Rt△ABC是相似的,∴锐角A的大小是不变的,∴锐角A的正弦值、余弦值没有变化.2.C　∵sin 30°=cos 60°,16°sin 30°.3.C　∵sin(70°-α)=cos 50°,∴70°-α+50°=90°,解得α=30°.故选C.4.A　在△ABC中,∠C=90°,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,因为tan A=ab=2,所以a=2b,由勾股定理得c=a2+b2=5b,所以cos A=bc=b5b=55.5.B　sin 45°×cos 45°=22×22=12,故A不符合题意;tan 45°-cos230°=1-322=1-34=14,故B符合题意;tan30°cos60°=3312=23 3,故C不符合题意;(tan 60°)-1=(3)-1=33,故D不符合题意.6.A　ADBD不一定等于sin β,故A符合题意;∵△ABC是直角三角形,∴sin β=ACAB,故B不符合题意;∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°,∴∠ACD=∠B,∴sin β=ADAC,故C不符合题意;∵△BCD是直角三角形,∴sin β=CDBC,故D不符合题意.7.B　如图,取格点D,连接BD,由题意得AD2=22+22=8,BD2=12+12=2,AB2=12+32=10,∴AD2+BD2=AB2,∴△ABD是直角三角形,∴∠ADB=90°,在Rt△ABD中,AD=22,BD=2,∴tan A=BDAD=222=12.8.A　过点A作AD⊥BC于点D,如图,∵AD⊥BC,∠ABC=α,∴sin α=ADAB=AD3,∴AD=3sin α m,∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3sin α)m.9.A　如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD中,sin B=12,AB=8,∴AD=AB·sin B=8×12=4,在Rt△ADC中,AC=5,∴CD=AC2−AD2=52−42=3,∴cos C=CDAC=35.10.A　如图所示,过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,在Rt△ACE中,AE=12AC=12×64=32(cm),同理可得BF=32 cm,∵点A与B之间的距离为12 cm,∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).11.45解析　∵tan α=1,∴锐角α=45度.12.34解析　∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠α+∠B=∠A+∠B=90°,∴∠α=∠A,∴tan α=tan A=68=34.13.17解析　如图,过P作PD⊥OB,交OB于点D,∵tan O=PDOD=43,∴设PD=4x,则OD=3x,∵OP=5,由勾股定理得(3x)2+(4x)2=52,∴x=1(已舍负),∴PD=4,∵PM=PN,PD⊥OB,MN=2,∴MD=ND=12MN=1,在Rt△PMD中,由勾股定理得PM=MD2+PD2=17.14.(1)152　(2)2425解析　(1)在Rt△ABC中,cos A=ACAB=35,∴设AC=3x,则AB=5x,∴BC=AB2−AC2=(5x)2−(3x)2=4x,∵BC=12,∴4x=12,∴x=3,∴AB=15,AC=9,∵D是AB的中点,∴CD=12AB=152.(2)∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴△CBD的面积=12×△ABC的面积,∴12CD·BE=12×12AC·BC,∴152BE=12×9×12,∴BE=365,在Rt△BDE中,cos∠DBE=BEBD=365152=2425.15.解析　原式=2×32-(3)23×1+1-32=3-1+1-32=32.16.解析　如图,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,延长CB至点D,使得AB=BD,则∠BAD=∠D.∵∠ABC=45°=∠BAD+∠D=2∠D,∴∠D=22.5°,设AC=1,则BC=1,AB=2AC=2,∴CD=CB+BD=CB+AB=1+2,∴tan 22.5°=tan D=ACCD=11+2=2−1(1+2)×(2−1)=2-1.17.解析　(1)如图,连接BD,设BC的垂直平分线交BC于点F,∴BD=CD,∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC.∵AB=CE,∴C△ABD=AC+CE=AE=1,故△ABD的周长为1.(2)设AD=x,∴BD=3x.∵BD=CD,∴AC=AD+CD=4x,在Rt△ABD中,AB=BD2−AD2=(3x)2−x2=22x,∴tan∠ABC=ACAB=4x22x=2.18.解析　(1)在Rt△AOB中,cos α=OBAB,∴OB=AB·cos α,当α=50°时,OB=AB·cos α≈6×0.64=3.84,当α=75°时,OB=AB·cos α≈6×0.26=1.56.∵1.56