沪科版九年级上册数学第21章二次函数和反比例函数学情评估试卷（含答案解析）

这是一份沪科版九年级上册数学第21章二次函数和反比例函数学情评估试卷（含答案解析），共26页。
沪科版九年级上册数学第21章二次函数和反比例函数学情评估试卷(满分150分,限时120分钟)一．选择题（共40分）1．已知函数y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数，则m的值为（　　）A．﹣3 B．±3 C．3 D．±2．抛物线y＝mx2与的形状相同，而开口方向相反，则m的值是（　　）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．3．抛物线y＝x2﹣2x的图象与x轴交点的横坐标分别是（　　）A．0，1 B．1，2 C．0，2 D．﹣1，﹣24．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　）A．16 B．﹣4 C．4 D．85．已知点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　）A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y16．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B． C． D．7．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（　　）A．6.24米 B．6.76米 C．7米 D．7.24米8．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b9．如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是（　　）A．5 B．10 C．15 D．10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　）A．（0，2） B．（﹣，0） C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确二．填空题（共20分）11．已知点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是 　 　．12．反比例函数，当y≥﹣2时，x的取值范围是 　 　．13．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），点B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＜mx+n的解集为　 　．14．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是　 　．三．解答题（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分）15．已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x＝8时，y＝；当y＝时，z＝﹣2．试说明z是x的函数吗？当x＝16时，z的值是多少？16．已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．17．如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）．（1）求m的值和反比例函数解析式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．18．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求该二次函数的解析式．（2）利用图象的特点填空：①方程ax2+bx+c＝﹣3的解为 　 　．②不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　．20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销，经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x元，每天的销售利润为w元．（1）求w与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？21．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3]（1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为 　 　．（2）若“图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．22．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象如图（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．（1）由图象知，累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式为s＝+bt，图象上有点（2，﹣2），求此函数关式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？23．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴正半轴相交于点B，负半轴相交于点A（﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）如图1，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，PD与BC的交点为E，设P（m，n）．①用含m的式子表示：PD＝　 　，DE＝　 　．直接用①的结论求解②③：②若PE＝DE，请直接写出点P的坐标．③若PE＝2DE，求点P的坐标．（3）如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为边的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知函数y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数，则m的值为（　　）A．﹣3 B．±3 C．3 D．±【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数，∴，解得：m＝﹣3．故选：A．2．抛物线y＝mx2与的形状相同，而开口方向相反，则m的值是（　　）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．【解答】解：∵抛物线y＝mx2与y＝﹣x2的形状相同，开口方向相反，∴二次项系数互为相反数，∴m＝．故选：D．3．抛物线y＝x2﹣2x的图象与x轴交点的横坐标分别是（　　）A．0，1 B．1，2 C．0，2 D．﹣1，﹣2【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x，∴当y＝0时，0＝x2﹣2x，解得x1＝0，x2＝2，即抛物线y＝x2﹣2x的图象与x轴交点的横坐标分别是0，2，故选：C．4．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　）A．16 B．﹣4 C．4 D．8【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，∴＝0，解得，c＝16．故选：A．5．已知点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　）A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴函数为增函数，又∵x1＞0＞x2，∴A，B两点不在同一象限内，∴y2＞0＞y1；故选：D．6．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B． C． D．【解答】解：①当k＞0时：函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向下；∴B不正确，不符合题意．②当k＜0时：函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向上；∴C不正确，不符合题意．∵函数y＝﹣kx2+4x+4的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，∴A正确，符合题意；D不正确，不符合题意．故选：A．7．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（　　）A．6.24米 B．6.76米 C．7米 D．7.24米【解答】解：根据题意可得：该抛物线经过（﹣10，﹣4），（10，﹣4），设抛物线解析式为y＝ax2，把（10，﹣4）代入y＝ax2得：4＝100a，解得：，∴该抛物线解析式为，把x＝9代入得：，∴此时水深为：（4﹣3.24）+6＝6.76（米），故选：B．8．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【解答】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．9．如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是（　　）A．5 B．10 C．15 D．【解答】解：设点E坐标为（x，y），∵E是OB的中点，∴B点的坐标为（2x，2y），则点D的坐标为（，2y），∵△DOE的面积为7.5，∴S△OBD＝2×7.5＝15，∴，解得：k＝10．故选：B．10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　）A．（0，2） B．（﹣，0） C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点，∴，解得．∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5，∴M（﹣3，5）．∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则，解得，故该直线的解析式为y＝x+2．当x＝0时，y＝2，即P（0，2）．同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（﹣，0）．如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长＝；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长＝；所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．故选：A．二．填空题（共4小题）11．已知点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是 　m＜2　．【解答】解：∵1＜3时，y1＜y2，∴在同一象限内，y随着x增大而增大，∴m﹣2＜0，∴m＜2，故答案为：m＜2．12．反比例函数，当y≥﹣2时，x的取值范围是 　x≥1或x＜0　．【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣2＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，∵当y＝﹣2时，x＝1，∴当﹣2≤y＜0时，x≥1；当y＞0时，x＜0．综上所述，x的取值范围是x≥1或x＜0．故答案为：x≥1或x＜0．13．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），点B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＜mx+n的解集为　x＜﹣3或x＞1　．【解答】解：设y1＝ax2+bx，y2＝mx+n，则ax2+bx＜mx+n即为y1＜y2，∵直线与抛物线交点为结合函数图象可知A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴x＜﹣3或x＞1，故答案为x＜﹣3或x＞1．14．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是　h≥　．【解答】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝，故抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.24，解得：h＞2.32；当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，解得：h≥，故h的取值范围是为h≥，故答案为h≥．三．解答题（共9小题）15．已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x＝8时，y＝；当y＝时，z＝﹣2．试说明z是x的函数吗？当x＝16时，z的值是多少？【解答】解：设y＝，∵当x＝8时，y＝，∴＝，∴k＝4，∴y＝；设z＝ny，∵当y＝时，z＝﹣2，∴﹣2＝n，∴n＝﹣6，∴z＝﹣6y，∴z＝﹣6×，即z＝﹣，将x＝16代入，得z＝﹣＝﹣．16．已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．【解答】证明：a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m．Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣3）2+4m＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8．∵（m﹣1）2≥0，8≥0．则Δ＞0，∴无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．17．如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）．（1）求m的值和反比例函数解析式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B（3，﹣1），∴﹣1＝﹣3+m，﹣1＝，解得m＝2，k＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y2＝﹣；（2）解方程组，得或，∴A（﹣1，3），观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．18．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？【解答】解：（1）停止加热时，设y＝，由题意得：50＝，解得：k＝900，∴y＝，当y＝100时，解得：x＝9，∴C点坐标为（9，100），∴B点坐标为（8，100），当加热烧水时，设y＝ax+20，由题意得：100＝8a+20，解得：a＝10，∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）；当停止加热，得y与x的函数关系式 为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）；（2）把y＝90代入y＝，得x＝10，因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求该二次函数的解析式．（2）利用图象的特点填空：①方程ax2+bx+c＝﹣3的解为 　x＝0或2　．②不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　x＜﹣1或x＞3　．【解答】（1）解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，∴，解得，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x＝1，∴点C（0，﹣3）与点（2，﹣3）关于直线x＝1对称，∴方程ax2+bx+c＝﹣3的解为x＝0或2，故答案为x＝0或2；②从图象可知y＞0时，x的取值为x＜﹣1或x＞3，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3，故答案为x＜﹣1或x＞3．20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销，经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x元，每天的销售利润为w元．（1）求w与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？【解答】解：（1）由题意得w＝（40﹣30﹣x）（4×+48）＝﹣8x2+32x+480，答：w与x的函数关系式是w＝﹣8x2+32x+480；（2）∵w＝﹣8x2+32x+480＝﹣8（x﹣2）2+512，∴当x＝2时，w有最大值512，此时售价为40﹣2＝38（元），答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．21．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3]（1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为 　[，﹣1，﹣1]　．（2）若“图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为[，﹣1，﹣1]；故答案为[，﹣1，﹣1]；（2）二次函数的解析式为y＝mx2+（m+1）x+m+1，根据题意得△＝（m+1）2﹣4m（m+1）＝0，解得m1＝﹣1，m2＝．22．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象如图（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．（1）由图象知，累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式为s＝+bt，图象上有点（2，﹣2），求此函数关式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？【解答】解：（1）由题意得：， 解得：b＝﹣2．∴．（2）把s＝30代入得．解得t1＝10，t2＝﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元．（3）把t＝7代入，得．把t＝8代入，得． 16﹣10.5＝5.5．答：第8个月获利润5.5万元．23．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴正半轴相交于点B，负半轴相交于点A（﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）如图1，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，PD与BC的交点为E，设P（m，n）．①用含m的式子表示：PD＝　﹣m2+2m+3　，DE＝　﹣m+3　．直接用①的结论求解②③：②若PE＝DE，请直接写出点P的坐标．③若PE＝2DE，求点P的坐标．（3）如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为边的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设点P（m，﹣m2+2m+3），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，则点E（m，﹣m+3），则PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m；①则PD＝﹣m2+2m+3，DE＝﹣m+3；故答案为：﹣m2+2m+3，﹣m+3；②若PE＝DE，则﹣m2+3m＝﹣m+3，解得：m＝3（舍去）或1，即点P（1，4）；③若PE＝2DE，则﹣m2+3m＝﹣2m+6，解得：m＝3（舍去）或2，即点P（2，3）；（3）设点F（m，﹣m2+2m+3），点G（x，0），当BC为对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣m2+2m+3，解得：m＝0（舍去）或2，即点F（2，3）；当BF或BG为对角线时，同理可得：3＝﹣m2+2m+3或0＝﹣m2+2m+3+3，解得：m＝0（舍去）或2或1，故点F的坐标为：（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．综上，点F的坐标为：（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．