第一章《 直角三角形的边角关系》单元检测试卷（解析版）

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第一章《 直角三角形的边角关系》单元检测试卷（解析版）一、选择题：（本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题目要求．）1． 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则的值为（   ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】根据网格结构找出所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．【详解】由图得，，∵，∴，故选：B．2．已知为锐角，且，则 （   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】∵为锐角，且，∴．故选A．3．Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6 cm，那么BC等于（   ）A．8 cm B． cm C． cm D． cm【答案】A【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA==，AC=6cm，∴AB=10cm，∴BC==8cm．故选A．4．在中，对边分别为、、，，若，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据，即可得出答案．【详解】解：，设，，．故选：C．5．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（   ） A．15m B． C．20m D．【答案】C【详解】解∶∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=，∴AC===m．∴AB=m．故选C．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠B．故选：A．7．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，∴，∴，，∴；故选C．如图，把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】证明，可得，即，即可求出结果．【详解】解：过点B作，交的延长线于点，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得，即石坝的高度为2.7m，故选A．9．某次台风来袭时，一棵大树树干AB(假定树干AB垂直于地面)被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D(如图所示)，量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是（   ）米？(结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4)A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】根据∠ADC=60°，先构建直角三角形，再解直角三角形,所以过A点作AE⊥CD于点E，则在Rt△AED中, 利用60°的正余弦既可以求出AE、DE的长度；在Rt△ AEC中，易知∠ACE = 45°，再利用45°的正切，求出AC的长度；进而即可求取大数原来的高度.【详解】解：过A点作AE⊥CD于点E，∵∠BAC= 15°∴∠DAC = 90°- 15°= 75°∵∠ADC=60°∴在Rt△AED中∵cos 60° ∴∵sin 60° ∴∴∠EAD=90°- ∠ADE = 90°- 60°= 30°在Rt△AEC中∵∠CAE=∠CAD-∠DAE = 75°- 30°= 45°∴∠ACE=90°-∠CAE = 90°- 45°= 45°∴∴sin45° ∴∴米答:这棵大树A B原来的高度是10米.10 .如图，在矩形纸片中，点E、F分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若，，，则的长是（   ）  A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】由折叠的性质可得，，由“”可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，延长交于点，过点作于， 交于点M，  ∵四边形为矩形，∴，，，∵将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．二、填空题：（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）11． 【答案】【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，将特殊角的三角函数值，代入计算即可．【解析】解：；故答案为：．12 .在中，，，，则的值是___________【答案】【分析】根据题意画出图，再根据余弦的定义计算即可．【详解】解：根据题意画出图如图所示：，，，．故答案为：13．在中，如果满足，则 ．【答案】 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形内角和定理即可得出答案．【解析】解：，，，，，，．故答案为：．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处，观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度为 （结果保留整数，参考数据：，，）  【答案】8【分析】根据正切的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的定义，得出是等腰直角三角形，进而得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案．【详解】解：由题意得：，，，，在中，，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴．∴旗杆的高度为．故答案为：8．15.已知中，，，则 ．【答案】2【分析】过点A作交于点D，根据三角形内角和定理，得到，进而得到，再利用勾股定理求得，然后解直角三角形即可求解．【详解】解：过点A作交于点D，  ，，，，在中，，，∵，∴，故答案为：2．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交于点D，E．若，，那么 ．  【答案】【分析】连接，设，然后通过勾股定理求解．【解析】解：连接，  设长为，是的垂直平分线，∴，，∵，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得．故答案为：．三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在中，，，，求的值． 【答案】【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，掌握解直角三角形的基本知识是解答本题的关键．先根据正弦函数的定义求出，再利用勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求出，求出答案．【详解】解：在中，，，，，即．．．．18．如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A，C两城市间修建一条高速公路（即线段），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东方向上，在线段上距A城市的B处测得P在北偏东方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区？（）  【答案】计划修建的这条高速公路不会穿越保护区【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点P作于D，先解得到，再解得到，进而建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P作于D，设，由题意得，在中，，在，，∵，∴，解得，∴，∴计划修建的这条高速公路不会穿越保护区．  无人机是当下年轻人娱乐竞技的方式之一．某无人机兴趣小组在广场上开展竞技活动（如图），比赛谁测量某写字楼BC的高度精确，其中小明操作的无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者小明（点A）的俯角为37°，测得写字楼顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，请帮助小明根据以上数据计算写字楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．（参考数据：，，）【答案】13米【分析】过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，在Rt△ADE中，利用三角函数求出AE40，证明四边形BCFE是矩形，求出DF=CF17，即可求出BC．【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°，在Rt△ADE中，∠AEF=90°，∴tan37°=，∴AE40，∵DE⊥AB，CB⊥AB，CF⊥DE，∴四边形BCFE是矩形，∴CF=BE57-40=17，在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∴∠CDF=∠DCF=45°，∴DF=CF=17，∴BC=EF=DE-DF30-17=13，答：教学楼BC的高度约为13米．20．如图，在中，，，． 求的长；求的面积（结果保留根号）．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长；（2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．【详解】（1）解：过点作于．在中，，，，∵在中，，；（2）∵在中，，，在中，根据勾股定理，，的面积．21．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的()，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为)，转动点距离地面的高度为． 当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点距离地面的高度；某日，一居民家突发险情，该居民家窗台距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．(参考数据：)【答案】(1)云梯消防车最高点距离地面的高度为(2)云梯消防车能实施有效救援，详见解析【分析】本题考查了解直角三角形的应用；（1）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，在中求得，进而根据，即可求解；（2）作于，于点，则四边形为矩形，在中，求得，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：如图1，过点作于点，过点作于点，答图1，四边形为矩形，，，，在中，，，；答：云梯消防车最高点距离地面的高度为．（2）如图2，为了救援，起重臂伸到最大长度，张角转到最大度数，作于，于点，答图2，四边形为矩形，，，，在中，，，；故米米，所以云梯消防车能实施有效救援常德市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，车轮半径为，坐垫与点的距离为．（结果精确到，参考数据：） 求坐垫到地面的距离；根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．（1）如图1，过点作于点，由题意知，，，则，根据单车车座到地面的高度约为，计算求解即可；（2）如图2，过点作于点，则，，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：如图1，过点作于点，由题意知，，，∴，∵，∴单车车座到地面的高度约为；（2）解：如图2，过点作于点，由题意知，∴，∴，∴的长为．为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．     (1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；(2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点处，求作业本移动的距离．（结果精确到）（参考数据：，，．）【答案】(1)距离不符合最佳要求(2)作业本移动的距离【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用——仰角俯角问题，勾股定理，熟练掌握仰俯角的概念是解题关键．（1）根据三角函数的定义列式计算即可；（2）根据勾股定理求出的长，再利用三角函数求出移动后的俯角，再求出的长，即可求出最后结果．【详解】（1）解：如图，在中，，，，，，，，距离不符合最佳要求；（2）在中，，，，为了符合最佳要求，，在中，，∴，，∴，∴，∴．如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接．  求证：平分(2) 求证：．(3) 若，，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据折叠性质和矩形性质可得，再根据点M是的中点，可证，进而证明，即可证出；（2）由折叠性质和由（1）得，可以求出，即可证明；（3）由折叠性质和第（2）问可得，进而求出，由（1），可求，进而求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，由折叠性质可得：，∵延长交于E，∴，∴，∵点M是的中点，∴，由折叠性质可得：，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）证明：由折叠性质可得：，由（1）得：，∵，∴，∵，∵，∴，∵，∴；（3）解：由（2）得：，∵，∴，由（2）得：，由折叠性质得：，∴，∴，∵，∴，∴，由（1）得：，∴，∴，由折叠性质的：，∴，∴，∴；