山东省德州市乐陵市2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份山东省德州市乐陵市2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
(满分150分，时间120分钟)
亲爱的同学们：
打开试卷的同时，你半个学期辛勤努力即将会有一番见证．望你沉着冷静，耐心思考，勇敢接受挑战，争取考出自己的最佳水平！
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确得选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出得答案超过一个均记零分．
1. 下列根式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：A、，此选项正确，故符合题意；
B、与，不是同类二次根式不能合并，此选项错误，故不符合题意；
C、，此选项错误，故不符合题意；
D、3与不是同类二次根式不能相加，此选项错误，故不符合题意，
故选：A．
3. 下列二次根式中能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
C.与是同类二次根式，能合并，故符合题意；
D.与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A. 1B. C. D.
答案：C
解析：解：点到原点的距离是．
故选：C．
5. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 1.5，2，2.5C. 2，3，4D. 1，， 3
答案：B
解析：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B
6. 图1是一面旗帜，图2是其示意图，四边形是平行四边形，点 E 在线段的延长线上，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：C．
7. 两张对边平行的纸条，随意交叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是（ ）
A 矩形B. 平行四边形C. 菱形D. 正方形
答案：B
解析：解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：B．
8. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
9. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A. 3B. 5C. D.
答案：A
解析：如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴,且BE⊥CD，
∴
故选：A．
10. 某周五学校举行了家长开放日活动，在以“纸片的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A. 3B. C. 2D. 1
答案：D
解析：解：设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，
∴，
在中，，
∴，
解得：，即．
故选：D．
11. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：解: 连接BE，BD，如图,
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°,
∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°.
∵E点为CD中点，
∴CE=DE=1,BE⊥CD.
在Rt△BCE中，
BC=2CE=2，
BE= .
∵AB∥CD,
∴BE⊥AB.
∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,
∴EF=AF.
设EF=AF=x,则BF=2-x,
Rt△BEF中,
,
解得 .
故选A.
12. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
答案：C
解析：解：设交于点
由作图知，垂直平分
在矩形中，
四边形是菱形
∴①正确
四边形是菱形
∴②正确
∴③错误
平分
∴④错误．
故选C．
二、填空题(本大题共6小题，共24分)
13. 二次根式有意义，则符合条件的非正整数是_________．
答案：
解析：解：∵二次根式有意义，
∴，
解得： ．
故答案为．
14. 如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 _____m．
答案：2.5
解析：解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而
设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
15. 已知的整数部分为，小数部分为，则的值是__________．
答案：
解析：解：，
，即，
，
的整数部分为，小数部分为，
，，
，
故答案为：．
16. 小明将一副三角板按如图所示方式摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长．若已知，则________．
答案：##
解析：解：，，
，
在中，，
∴，
设，则，
，
，
，
，
（负值舍去），
∴，
故答案为：．
17. 如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处，当为直角三角形时，_________．
答案：7或．
解析：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如下图所示．
连接，
在中，，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿 折叠，使点落在对角线上的点处，
∴，，
，
设，则，
在中，
，
，
解得，
；
②当点落在边上时，如下图所示,
此时为正方形，
∴．
综上所述，的长为7或．
18. 如图，在菱形中，边长为1，．顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形，顺次连接四边形各边中点，可得四边形；…；按此规律继续下去．四边形的面积是_________．
答案：##
解析：解：菱形，，
，为等边三角形，
，
等边的高为，
，
顺次连接菱形各边中点，可得四边形，
四边形为矩形，
,
同理可得，
，
……
．
故答案为：．
三．解答题(本大题共7小题，共78分)
19. 计算下列各题：
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：
；
小问2解析：
．
20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
答案：（1）17.7米 （2）5米
小问1解析：
根据题意有：BD=12米，BC=20米，CD⊥BD，AB=DE=1.7米，
∴在Rt△BCD中，（米），
∴CE=CD+DE=16+1.7=17.7（米），
即风筝的垂直高度为17.7米；
小问2解析：
∵风筝沿CD方向下降7米，DE保持不变，
∴此时的CD=16-7=9（米），
即此时在Rt△BCD中，BD=12米，有（米），
相比下降之前，BC缩短长度为：20-15=5（米），
即小明应该回收线5米．
21. 如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．

答案：5，图见解析
解析：解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如下图：

故答案为：5．
22. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）求长方形的周长；
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
答案：（1）
（2）元
小问1解析：
长方形的周长
，
答：长方形的周长是；
小问2解析：
购买地砖需要花费
（元；
答：购买地砖需要花费元．
23. 下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，请根据提示分别完成证明．
答案：证明见解析
解析：证明：方法一：∵点是边的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
方法二：∵是斜边的中线，
∴点O是的中点，
∵的中点D，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
24. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
；
．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①＝______；
②＝______．
（2）应用：求的值．
（3）拓广：直接写出的值．
答案：（1）①；②
（2）
（3）
小问1解析：
解：①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
小问2解析：
解：
；
小问3解析：
解：
．
25. 已知：在中，，，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，
①求证：≌；
②的大小＝______°；
③若，，则CF的长＝______；
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，则CF、BC、CD三条线段之间的关系是：______；
（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①CF、BC、CD三条线段之间的关系是：______；
②若连接正方形的对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究的形状，并说明理由．
答案：（1）①见解析；②45；③6
（2）
（3）①；②等腰三角形，见解析
小问1解析：
（1）①证明：∵四边形ADEF是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴≌（SAS）．
②∵≌，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：45．
③∵≌，
∴，
∵．
∴CF=6，
故答案为：6．
小问2解析：
（2），
由（1）同理可证≌得：．
故答案为：．
小问3解析：
（3）①由（1）同理可证≌得：．
故答案为：．
②为等腰三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵四边形ADEF是正方形，
∴，，
∴，
同理可证≌，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF的中点，
∴，，，
∴，
∴是等腰三角形．
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在中，是斜边的中线．
求证：．
方法一
证明：如图，延长至点D，使得，连接．
方法二
证明：如图，取的中点D，连接．